Aantal wiskunde vraagjes
 

Normaal zou ik dit soort vragen met mijn GRM berekenen of uitzoeken maar ik mag mijn GRM niet gebruiken bij het examen dat ik dinsdag heb, dus moet ik het wel zonder kunnen :)

1) Hoe bereken ik een asymptoot van een functie zoals f(x) = (2x² + 3x - 4) / (x² - 5x + 1) ?

2) Vraag:

Welke van de volgende beweringen over de veeltermfunctie f(x) = 6ac x³ + 4bc x² + 9ad x + 6bd is niet juist ?

A) Als a = 0 en bcd ≠ 0 dan heeft de functie hoogstens 2 nulpunten.
B) Als 2c + 3d = 0 dan heeft de functie +1 en -1 als ulpunten.
C) Als cd > 0 dan heeft de functie 2 tegengestelde nulpunten.
D) Als a=2 dan heeft de functie -b/3 als nulpunt.

Welk antwoord is niet correct ?

3) Dit is meer een voortvloeiing uit vraag 2. Ik vraag me namelijk echt af wat de kenmerken zijn van een functie zoals f(x) = 2x⁴ - 4x³ - 13x² - 6x - 24, ik snap gewoon niet hoeveel dalpunten zo'n functie bijvoorbeeld heeft.

4) Hoe bereken ik een buigpunt en een minimum voor de functie f(x) = -√(-x² - 2x + 8) ?

5) Wat zijn de kenmerken van de cirkel x² + y² - 6y - 10x + 9 ? Wat voor invloed heeft het als ik 6y in 8y verander ? En als ik 9 in 16 verander ?

6) Hoe bereken ik de top van de parabool y² - 6y + 1 = 4x ? Ik snap de notering van deze functie niet...

HEEL erg bedankt als je de tijd neemt om deze vragen te beantwoorden!!

Steven

Vraag 1:

Een functie in de vorm f(x) = a/b heeft een asymptoot voor b=0. Dus moet je de vergelijking x² - 5x + 1 = 0 oplossen.

-Een berg onzin-

Het buigpunt bereken je door de tweede afgeleide gelijk te stellen aan 0 en die vergelijking op te lossen. Het minimum bereken je door de eerste afgeleide gelijk te stellen aan 0 en de vergelijking op te lossen. De x-waarde waar de laagste y-waarde bij gevonden wordt na invullen in de oorspronkelijke functie is dan het minimum.

Was inderdaad onzin die ik had gepost. Ik heb geen werkende GR hier om te testen. Ik zal even nadenken over kenmerken van die krengen. :P

Als je de top ziet als hoogst bereikbare y-waarde dan bestaat hij niet, maar er is wel een hoogst bereikbare x-waarde. Je moet dan de functie omschrijven tot x =1/4y² - 3/2y + 1/4 en dan oplossen naar y ipv x.

er is alleen een buigpunt als het teken verwisselt voor en na de x-waarde van het buigpunt, bijvoorbeeld de tweede afgeleide is 0 bij x = 2

maak een tekenschema bijvoorbeeld als volgt:

- - - - 0 + + +
--------------------------------------
<-----x=2---------->

er is hier sprake van een buigpunt in x = 2 want de grafiek gaat van hol naar bol.

Sander

Ahaaa. Dus met top bedoelen ze gewoon de hoogst bereikbare x-waarde... ik dacht dat een top altijd een hoogst bereikbare y-waarde was. Bedankt :D

tenzij y een functie van x is. Dan geldt dat de verticaal je horizontaal wordt zeg maar.

Sander

ja, als de functie in x is uitgedrukt wel ;)

Ja natuurlijk :D

Kan iemand alsjeblieft nog vraag 2, 3 en 5 beantwoorden ? :)

Om de horizontale asymptoot te vinden deel je teller en noemer door de hoogste macht van x. Door van de uitdrukking die je dan krijgt de limiet voor x naderend tot oneindig te bepalen vind je de horizontale asymptoot. De verticale asymptoot vind je door de noemer gelijk te stellen aan nul.

In geval A gaat de vergelijking voor a=0 over in een tweedegraadsvergelijking. Zo'n vergelijking heeft maximaal 2 oplossingen, zoals je weet, dus f heeft dan maximaal 2 nulpunten, dus A is juist en B t/m D zijn dus onjuist.

Differentiëren van f en het resultaat gelijkstellen aan nul geeft de extremen van f.

Differentiëren van f en het resultaat gelijkstellen aan nul geeft de extremen van f. Door f' te differentiëren en dit nul te stellen vind je de gevraagde buigpunten van f.

Maak gebruik van het gegeven dat een cirkel met middelpunt (a,b) en straal r de vergelijking (x-a)²+(y-b)²=r² heeft.

Pas kwadraatafsplitsing toe, dan krijg je: y²-6y+1=y²-6y+9-8=4*x,
dus y²-6y+9=4*x-8, dus (y-3)²=4(x-2). Dit is een vergelijking van de vorm (y-b)²=2*p(x-a) die een parabool met top (a,b) voorstelt. In dit geval geldt: b=3, p=2 en a=2, dus het gaat hier om een parabool met top (2,3). In dit geval gaat het niet om de grafiek van één functie, maar om een combinatie van 2 grafieken die ieder bij een andere functie horen. Uit (y-3)²=4(x-2) volgt namelijk: y-3=√(4(x-2)) of y-3=-√(4(x-2)), dus y=√(4(x-2))+3
of y=-√(4(x-2))+3.

Zou je dit ajb eens voor willen doen bij de functie f(x) = (2x² + 3x - 4) / (x² - 5x + 1) ? De verticale asymptoot berekenen snap ik wel, alleen de horizontale niet....

Ok, dat had ik (gelukkig ;)) ook zelf bedacht. Het ging mij meer om de andere antwoorden B, C en D. Ik vraag me af hoe je kan controleren dat die incorrect zijn. Hoe kan ik bijvoorbeeld nulpunten vinden van een functie als er allerlei variabelen als b, c en d in zitten ?

f(x) = 2x⁴ - 4x³ - 13x² - 6x - 24
f'(x) = 8x³ - 12x² - 26x - 6

8x³ - 12x² - 26x - 6 = 0
4x³ - 6x² - 13x - 3 = 0

Hoe kan ik dat nou makkelijk zonder rekenmachine oplossen ? :s

f(x) = -(-x² - 2x + 8)^1/2
f'(x) = -1 * 1/2 * (-x² - 2x + 8)^-1/2 * (-2x-2)
-1 * 1/2 * (-x² - 2x + 8)^-1/2 * (-2x-2) = 0
-2x-2 = 0
x = -1

Mooi, dat klopt :)

Alleen de tweede afgeleide vinden lukt me niet... dat is te ingewikkeld :s


Aha! Dus bij de cirkel x² + y² - 6y - 10x + 9 geldt... 6 = 2b, dus b = 3, 10 = 2a, dus a = 5, en 9 = a² + b² - r² dus r² = 25 + 9 - 9 = 25 dus r = 5. Een cirkel met straal 5 en middelpunt (5,3). Correct ? :)

Wauw. Duidelijk. Bedankt :D. Maar 2 anderen in deze topic vertelden dat men in de opgave de top van x bedoelde. Klopt dat dan ?

Mag ik iedereen hier trouwens HEEEEEEL erg hartelijk bedanken voor alle antwoorden :) ze helpen echt heel veel.

de methode van mathfreak zal wel kloppen (maar limieten waren mijn ding niet ;)) dus ik gebruik de methode dat ik in mijn hoofdstuk van rationale functie's geleerd heb:

1) => controleer de graad van teller & noemer (de hoogste exponent v. x)

ALS de graad van de teller kleiner is dan de graad van de noemer dan heeft de functie de x-as als assymptoot

ALS de graad van de teller gelijk is aan de graad van de noemer dan heeft de grafiek een horizontale assympttto van y = b waarbij b de verhouding is van de coëfficiënten van de hoogste graadstermen van teller en noemer.

ALS de graad van de teller groter is dan die van de noemer dan heeft de vergelijking geen horizontale assymptoot maar een "kromme" assymptoot (de naam ben ik vergeten) in dat geval moet het op mathfreak zen manier met limieten (ask him vo uitleg)


in u geval => f(x) = (2x² + 3x - 4) / (x² - 5x + 1)

graad van teller en noemer is beide 2. dus de graad v teller en noemer is gelijk

de vergelijking heeft een horizontale assymptoot y = b

om b te vinden: f(x) = (2x² + 3x - 4) / (x² - 5x + 1)

neem de hoogste graadstermen: (2x² + 3x - 4) / (x² - 5x + 1)

de verhouding van de coëfficienten: (2x²) / (1x²)

=> B = 2/1

u vergelijking heeft als horizontale assymptoot y = 2


dit is in het HEEL breed uitgelegt, als je het zo oplost is het heel simpel, in het derde geval moet je teller delen door noemer maar moet je eerst nog nulpunten van teller & noemer zoeken en al dat gedoe, leg'k mss een andere keer uit

voor tweede- en eerstegraadsvergelijkingen bestaan er formules om de nulpunten te bepalen. Voor alle hogere graden (veeltermfuncties) gebruikt men de regel "een product is nul als een van de factoren nul is" we gaan de veeltermfunctie dus ontbinden in factoren. Omdat geld: ALS Y1 deelbaar is door Y2 DAN bestaat er een a waarvoor geld Y1 = (x-a)*Y2

die a is dus een van de maximum 3 nulpunten die u derdegraadsvergelijking kan hebben. om die te vinden is de makkelijkste manier: ga alle gehele delers af van de constante term.

Y1 <=> 4x³-6x²-13x-3 = 0

constante term = -3, alle gehele delers: -3, -1, 1, & 3.

ga ze alle vier af, de juiste is -1 = a. Dat is al één nulpunt. dus [x-(-1)] is een deler van Y1

Nu gaan we de Y2 zoeken waarvoor geldt: Y1 = (x+1)*Y2 OF Y1 / (x+1) = Y2

het quotient van deze deling (Y2) bepalen we met de regel van horner, ter verduidelijking van Horner:

http://users.pandora.be/Nat_Selection/Horner.JPG

met de bekomen coëfficienten maak je dan de vergelijking Y2 (1 graad lager dan Y1) dus: Y2 = 4x²-10x-3

=> (4x³-6x²-13x-3) = (x+1)*(4x²-10x-3)

Y2 kan nog mogelijk twee nulpunten bevatten deze zoek je met de abc-formule => [10+148^0.5 / 8] & [10-148^0.5 / 8]

dit zijn dan de drie nulpunten van de vergelijking

Ik snap dit gedeelte niet. De gehele delers snap ik nog wel, maar hoe weet je dan dat -1 = a de juiste is ?

In ieder geval bedankt voor de uitleg :)

Gewoon even invullen (substitutie)
4x³-6x²-13x-3=0
x = -1
4*(-1)-6-13*(-1)-3=0
-4-6+13-3=0
Klopt :)

Ach tuurlijk :)

Bedankt

De hoogste macht van x is in teller en noemer 2, dus delen van teller en noemer door x² geeft (2+3/x-4/x²)/(1-5/x+1/x²). Laat nu x naar oneindig gaan, dan gaan termen als a/x en b/x² naar 0, dus de teller van de breuk gaat naar 2 en de noemer van de breuk gaat naar 1, dus de breuk zelf gaat naar 2/1=2, dus y=2 is de horizontale asymptoot.

Ik zet even de antwoorden erbij:
B) Als 2c + 3d = 0 dan heeft de functie +1 en -1 als nulpunten.
C) Als cd > 0 dan heeft de functie 2 tegengestelde nulpunten.
D) Als a=2 dan heeft de functie -b/3 als nulpunt.
Bij B is gegeven: 2*c+3*d=0, dus c=-1 1/2*d. Dit kun je dus in de oorspronkelijke vergelijking invullen. Als 1 en -1 nulpunten zijn, dan moet invullen van x=1 en x=-1 in de vergelijking na uitwerking daarvan de waarde nul opleveren. Is dat niet zo, dan is de bewering onjuist.
Bij C is gegeven: c*d>0. Dit betekent: dat c en d beide positief of beide negatief zijn. Stel dat x=x₁ een nulpunt is, dan zou x=-x₁ ook een nulpunt moeten zijn. Als dat niet zo is, dan is de bewering onjuist.
Bij D is gegeven: a=2. Als je dit in de vergelijking invult, en als x=-b/3 na uitwerking van de vergelijking de waarde nul oplevert, dan is de bewering juist.

Omdat x=-1 aan de vergelijking voldoet is x+1 een factor van
4*x³-6*x²-13*x-3. Zoals herr renz al liet zien geldt:
4*x³-6*x²-13*x-3=(x+1)*(4*x²-10*x-3). Stel dit nul, dan geldt: x+1=0 of 4*x²-10*x-3=0. Je vindt dan: x=-1 of x=(10-2*sqrt(37))/8
=1 1/4-1/4*sqrt(37) of x=(10+2*sqrt(37))/8=1 1/4+1/4*sqrt(37)

Laat ik eerst de waarde van f'(x) maar eens verder uitwerken:
f'(x)=-1 *1/2 *(-x²-2*x+8)^-1/2*(-2*x-2)=-(-2x-2)*(-x²-2*x+8)^-1/2
=(2*x+2)*(-x²-2*x+8)^-1/2. We hebben nu een produkt van 2 functies, dus om f"(x) te bepalen passen we de produktregel toe. Dit geeft:
f"(x)=2*(-x²-2*x+8)^-1/2+(2*x+2)*-1/2*-(2*x+2)*(-x²-2*x+8)^{-1 1/2}
=2*(-x²-2*x+8)^-1/2+1/2*(2*x+2)²*(-x²-2*x+8)^{-1 1/2}
=2*(-x²-2*x+8)^-1/2(1/4*(2*x+2)²/(-x²-2*x+8). Stel dit nul om het buigpunt te vinden, dan blijkt x=-1 het gevraagde buigpunt te zijn.

Dat betekent dat de vergelijking van de cirkel dus te schrijven is als
(x-5)²+(y-3)²=25.
Uitwerken van het linkerlid levert: x²-10*x+25+y²-6*y+9=25,
dus x²-10*x+y²-6*y+9=0. Dit levert de oorspronkelijk gegeven vergelijking, dus je uitwerking wat betreft straal en middelpunt is inderdaad correct.


Wat er bedoeld werd is dat x in dit geval een bij y behorende functiewaarde voorstelt. Overigens stelt y²-6*y+1=4*x een relatie voor, wat weer wat uitgebreider is dan een functie.