derdegraadsverglijkingen
 

ik moet voor wiskunde een praktische opdracht maken over derdegraadsverglijkingen. ik heb de formules gevonden wat ik nodig heb. maar ik heb paar vragen.

in mijn boek staat dat ik derdegraadsverglijkingen van de vorm x³+6x=8 moet kunnen oplossen met de formule van cardano.

alleen ik heb geen formule kunnen vinden om dit soort verglijkingen te kunnen oplossen. maar wel formules om verglijkingen van deze vorm ax³+bx²+cx+d=0 te kunnen oplossen.

( sorry maar ik ben beetje door de war door al die formules:) )

mijn vraag: wordt er in mijn boek de formule van ax³+bx²+cx+d=0 bedoeld? dus dat ik zo'n verglijking krijg en dat ik die dan om moet buigen naar de vorm van x³+6x=8 ?

maar als ik een verglijking als x³+6x=8 krijg... moet ik dus de laatste gedeelte van de formule van ax³+bx²+cx+d=0 gebruiken omdat ik niet om moetbuigen?:S

ik hoop dat jullie mij begrijpen:D

je weet al hoe je vergelijkingen in de vorm van
ax³+bx²+cx+d=0 moet oplossen, deze betekent dat je alle andere vormen van 3e gr. vergelijkingen kunt oplossen. dus ook: x³+6x-8=0 of x³+x²-3=0 of x³+x²+x+1=0 of x³-1=0 ect..

je hoeft alleen de constanten: a en b aan te passen door : in jouw geval a=1 en b=0
je krijgt dus x³+cx+d=0.
in jouw geval c=6 en d=-8.
deze waarden vul je weer in oplossingsformules en je vindt de oplossing(en) die er zijn.

heb jij daar een oplosformule voor? Ik heb wel eens gehoord dat die bestond, maar dat hij ontzettend lang is, dus kan me niet voorstellen dat je deze zelf bedacht hebt. De enige manier waarop ik derdegraads vergelijkingen in de vorm ax³+bx²+cx+d=0 op kan lossen is door een oplossing x₁ te proberen en vervolgens de vergelijking aan beide kanten door x-x₁ te delen.

Maar over je vraag: x³+6x=8, kun je gewoon omschrijven naar x³+6x-8=0

Je bedoelt natuurlijk derdegraadspolynomen.

Dat valt wel mee. Zie verder mijn eerste reply in http://forum.scholieren.com/showthre...hlight=Cardano

ja ok x³+6x=8 kan ik gewoon omschrijven naar x³+6x-8=0 maar hoe los ik dit dan op?

bijv ik heb x³ -21x² +126x –216 =0 en dit moet ik dus ombouwen tot ax³+ bx +c=0

dus moet ik x=y-b/(3a) gebruiken.

x=y- -21/(3.1) = y +7

(y+7)³ - 21(y+7)² + 126(y+7)-216

(y+7)³= y³+ 21y² + 147y + 343
-21(y+7)²=-21y²-294y –1029
126(Y+7)= 126y +882

dus bijelkaar:

y3 + 21y2 +147y + 343 -21y2-294y –1029 +126y +882 -216 =0

y3 -21y -20=0

en verder moet ik y=u+v invullen enz om er 2 graadsverglijking van te maken.

maar dit moet je doen bij ax³+bx²+cx+d=0

x³+6x-8=0 moet ik dus gewoon x³+0x²+6x-8=0 maken en dan x=y-b/(3a) gebruiken?

dit is een speciaal geval,
kijk x=y-b/(3a)
b=0 het wordt dus x=y-b/(3a) =y-0/3=y
dus x=y
vul je die in in de formule dan krijg je
y³+6y-8=0 dat is eigenlijk de vergelijking x³+6x-8=0 maar met een andere letter voor de onbekende.
ook al stel je y=u+v dan kom je niet zo ver, denk ik

Er bestaan inderdaad formules om derde- en vierdegraadsvergelijkingen op te lossen. Om de vergelijking a*x^3+b*x^2+c*x+d=0 op te lossen ga je als volgt te werk: stel y=x+b/3*a. Dit levert de vergelijking y^3+3*p*y+q=0 met p=(3*a*c-b^2)/9*a^2
en q=(2*b^2-9*a*b*c+27*a^2*d)/27*a^3. We noemen D=4*p^3+q^3 de discriminant die bij deze vergelijking hoort. Stel u=(-q+sqrt(D))/2
en v=(-q-sqrt(D))/2, dan vinden we met de formule van Cardano de oplossingen x=u^(1/3)-v^(1/3)

als je goed hebt gelezen dan had je door dat x³+6x-8=0 kan geschreven worden als y^3+3*p*y+q=0 of wel x^3+3*p*x+q=0
met p=2 en q=-8
ga hiermee door dan vind je de oplossingen