Limiet
 

Waarom is lim(x->a) (x^(1/3)-a^(1/3))/(x-a) = 1/(3*a^(2/3))

Gebruik de regel van L'Hopital:

lim(x->a) f[x]/g[x] = lim(x->a) f'[x]/g'[x] (mits f[a] = g[a] = 0, wat hier het geval is)

f[x] = x^(1/3)-a^(1/3))
f'[x] = 1/3 x^(-2/3)

g[x] = x-a
g'[x] = 1

Dus: lim(x->a) (x^(1/3)-a^(1/3))/(x-a) = lim(x->a) 1/3 x^(-2/3) = 1/3 a^(-2/3)

hallo B...h,

Als je de truc van L'Hospital kent is het niet zo moeilijk....

lim {x->a} voor A/B met A = x^1/3 - a^1/3 en B = x - a

Bereken P = dA/dx en Q = dB/dx en neem lim {x->a} P/Q
vul voor x a in en je hebt de uitkomst... amazing!

Ik heb nog nooit van l'Hospital gehoord :S

Kan het ook zonder die stelling?

De regel van l'Hôpital wordt in de meeste calculusboeken behandeld.

Misschien wel, maar ik denk dat je dan met Taylorreeksen moet gaan werken, en dat is een stuk meer werk dan de regel van l'Hôpital toepassen.

Talorreeksen ken ik ook niet, ik zit nog maar op de middelbare

De stelling van l'Hôpital is vrij eenvoudig, die kun je wel gewoon gebruiken. :)

Meestal is het de bedoeling je eigen theorie te gebruiken en niet iets wat je op de middelbare nooit zal leren

Laat maar, heb hem zelf al opgelost

Je kunt het in dit geval zonder de regel van De l'Hôpital of het gebruik van Taylorreeksen stellen. Maak gebruik van het feit dat de limiet van
(f(x)-f(a))/(x-a) voor x naderend tot a gelijk is aan f'(a), dan krijg je:
lim(x->a)[ (x^1/3-a^1/3)/(x-a)]=f'(a)=1/3*a^-2/3=1/(3*a^2/3).
De moraal van dit verhaal: zoek het niet meteen in alternatieve methoden, maar kijk eerst of je het probleem kunt herleiden tot iets bekends.

L'Hopital gecompliceerd? Kom op zeg... Dat je hem niet kent, das wat anders.

Maar goed, hij kan uiteraard ook zonder:

(x^1/3-a^1/3)/(x-a) =
(x^1/3-a^1/3)/(x^3/3-a^3/3) =
(x^1/3-a^1/3)/((x^1/3-a^1/3)*(x^2/3+a^2/3+a^1/3x^1/3)) =
1/(x^2/3+a^2/3+a^1/3x^1/3))

Vul in: x=a, en je krijgt het antwoord weer.

Ander limiet, wat is:

lim(x->0) sin(4x)/sin(6x)

Maak gebruik van de standaardlimiet lim(x->0)[sin(x)/x]=1 en probeer op die manier de gegeven limiet om te schrijven naar een produkt van standaardlimieten.

@GinnyPig: Ik ken de stelling van De l'Hôpital wel degelijk, maar het lijkt me niet zinvol om daar gebruik van te maken als het ook zonder kan, vandaar dus die vorige opmerking van mij. Merk overigens op dat ik het bijvoeglijk naamwoord "gecompliceerde" inmiddels door "alternatieve" heb vervangen.