[WI] opgaven
 

heey

we hebben voor wiskunde de volgende opgaven gekregen om daar een beetje mee te spelen en de oplossingen proberen te vinden:
1. Als sin x= 2 cos x wat is dan sin x.cos x ?
1/3, 2/3,1/4,1/5,2/5

2. a+b=2
a^2+b^2=5
wats is a^3+b^3?
11,12,13,14,15

is er iemand die mij hiermee kan helpen?

1)
Gegeven:
sinx=2cosx <=> (sinx)/(cosx)=2 <=> tanx=2 <=> x=bgtan2

sinx*cosx = sin(bgtan2)*cos(bgtan2) = 2/SQRT(5) * 1/SQRT(5) = 2/5

De waarden van sin(bgtan2) en cos(bgtan2) leid je gewoon af uit een rechthoekig driehoekje volgens S=O/S, C=A/S, T=O/A.

2)
Gegeven:
a+b=2
a²+b²=5

(a+b)² = a² + 2ab + b²
2² = 5 + 2ab
-1 = 2ab
ab = -1/2

(a+b)*(a²-ab+b²) = (a³+b³)
2*(5-(-1/2)) = a³ + b³
<=> a³ + b³ = 11

Dmv van de formules die ik gebruikte kan je aantonen dat a³+b³ toch een eindig geheel getal is, namelijk 11 - zonder daarvoor de werkelijke waarden van a en b te kennen.

Als je het zonder deze formules doet en het via uitrekenen wil bekomen krijg je inderdaad waarden voor a en b die niet geheel zijn. Dit is echter geen sluitend bewijs dat de som van hun derdemachten niet geheel kunnen zijn.
In dit voorbeeld zullen na uitwerking de wortels tegengestelde tekens hebben, en dus wegvallen waardoor het eindresultaat wel geheel is.
Ik werk het uit voor 1 van de 2 oplossingen van a & b, voor de andere is het rekenwerk gelijklopend.

a = (√6/2)+1 en b = 1 - (√6/2)
Hier kan je al opmerken dat het niet-gehele gedeelte een tegengesteld teken heeft, na uitwerking zal dit namelijk wegvallen.

Gevraagd: [(√6/2)+1]³ + [1 - (√6/2)]³
1e term: [(√6/2)+1]³
uitwerking volgens (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
[(√6/2)+1]³ = (√6/2)³+3*(√6/2)²+3*(√6/2)+1
= (3*√6)/4 + (3*6)/4 + (3*√6)/2 + 1
= (9*√6)/4 + 11/2

2e term:
[1-(√6/2)]³ = 1³ + 3*(-√6/2)+3*(-√6/2)²+(-√6/2)³
= 1 - (3√6)/2 + 18/4 - (3√6)/4
= -(9√6)/2 + 11/2

Som van de 2 termen:
(9*√6)/4 + 11/2 -(9√6)/2 + 11/2 = 11

Ik zag het. Ik heb mijn vorige reply inmiddels dan ook verwijderd.
Nog even één opmerking: in de eerste opgave maakte je gebruik van wat jullie de boogtangens en wat wij hier de arctangens noemde. De cyclometrische functies arcsinus, -cosinus en -tangens komen echter al geruime tijd niet meer bij ons in het v.w.o. (voorbereidend wetenschappelijk onderwijs) aan bod.

Dat wist ik niet, ik heb ze in mijn secundair onderwijs nog behandeld, inderdaad ook met als alternatieve naam de arc-... :)

Het is misschien toch nuttig dan dat je jouw oplossing opnieuw post, je had immers een oplossing zonder de cyclometrische functies die nu ook verloren is door de verwijdering van je post.

Stel cos(x)=p, dan geldt: sin(x)=2*cos(x)=2*p en sin(x)*cos(x)=2*p². Toepassen van sin²(x)+cos²(x)=1 geeft dan: 4*p²+p²=5*p²=1, dus p²=1/5, dus sin(x)*cos(x)=2/5.

waarvoor staat "SQRT"?

SQRT staat voor 'square root' en betekent de vierkantswortel :)

mathfreak en TDH bedankt :)