Primitieve
 

Wat is de primitieve van sin(x)/(1+cos²(x)) ?

Er geldt: sin(x)*dx=d(-cos(x)),
dus sin(x)*dx/(1+cos²(x))=d(-cos(x))/(1+cos²(x))=-d(cos(x))/(1+cos²(x))
=-du/(1+u²) met u=cos(x).
De primitieve van 1/(1+u²) is gelijk aan arctan(u),
dus de primitieve van sin(x)/(1+cos²(x)) is gelijk aan -arctan(cos(x)).

bedankt :)

Nog een vraag over hetzelfde onderwerp:

gegeven: integraal van 0 tot 9 (f(x)dx) = 4
Wat is dan de integraal van 0 tot 3 (x*f(x²))

integraal van 0 tot 3 (x*f(x²)) moet natuurlijk integraal van 0 tot 3 (x*f(x²)dx) zijn

als ik het goed heb dan is dit het antwoord:

de vraag is dezelfde als:
F(9)-F(0)=4
3*F(3²)-0*F(0²)=Z
(( Z moet berekend worden..en gelijk is aan de integraal van 0 tot 3 (x*f(x²)dx))

3*F(3²)-0*F(0²)=3F(9)=Z dus F(9)=Z/3
we vervangen F(9) door Z/3 in de eerste gelijkheid
dus
F(9)-F(0)=4 geeft Z/3-F(0)=4
dus Z=12+3F(0)

de integraal van 0 tot 3 (x*f(x²)dx) =12+3F(0)

of niet freaky?

Stel F de primitieve van f, dan geldt: d(F(x))=f(x)*dx,
dus d(F(x²))=2*x*F'((x²)*dx=2*x*f(x²)*dx, dus x*f(x²)*dx=1/2*d((F(x²)). Er geldt: F(9)-F(0)=4 en uit x*f(x²)*dx=1/2*d((F(x²)) volgt na links en rechts integeren van 0 tot 3 dat dit gelijk is aan 1/2*F(9)-1/2*F(0)
=1/2(F(9)-F(0)=1/2*4=2.