rechten en vlakken
 

gegeven: a: (x-9)/2=(y-6)/1=z/-2
en b: {x+y+3=0
{z+5=0

Bepaal een cartesiaanse vergelijking van het vlak alpha dat door p(1,1,1) gaat en evenwijdig is met a en b

ik heb zelfs de oplossing: 2x+2y+3z-7=0
maar hoe kom ik eraan?

Ik snap hem niet :confused:

Is dit VWO wiskunde?
Wat is de bedoeling?
Hebben a) en b) wat met elkaar te maken? Zo ja, dan klopt imo de forumule van a) niet.

dit is ruimtemeetkunde en van de formule van a kan je gemakkelijk b maken maar dan zie je de richtingsvector en de vertegenwoordiger niet meer

Dit was inderdaad wiskunde op v.w.o.-niveau en in een grijs verleden (voor het invoeren van wiskunde A en B op het h.a.v.o.) ook op h.a.v.o.-niveau, maar met de invoering van de Tweede Fase (waarvan het nut door sommigen als discutabel wordt beschouwd) is dit onderwerp uit het v.w.o.-programma voor wiskunde B geschrapt. De vergelijking bij a stelt de vergelijking van een lijn in de ruimte voor (waarvoor ik zelf bij voorkeur een vectorvoorstelling zou geven, wat ik zo dadelijk doe) en de vergelijking bij b stelt de doorsnede van 2 vlakken in de ruimte voor wat ook weer een lijn in de ruimte oplevert.
(x-9)/2=(y-6)/1=z/-2 gaan we omschrijven naar een vectorvoorstelling door x=t te stellen met t een gegeven parameter en y en z in t uit te drukken. Dit geeft: t-9=2*y-12 en t-9=-z, dus y=1/2*t+3 en z=-t+9, wat ons de vectorvoorstelling (x,y,z)=(0,3,9)+t(2,1,-2) van de lijn bij a geeft.
Het stelsel x+y+3=0 en z+5=0 geeft bij keuze x=v met v een gegeven parameter y=-v-3 en z=-5, wat ons de vectorvoorstelling
(x,y,z)=(0,-3,-5)+v(1,-1,0) van de lijn bij b geeft.
We moeten nu de vergelijking van een vlak alfa door (1,1,1) vinden zodat alfa evenwijdig loopt aan de gegeven lijnen. Dit betekent dat voor de normaalvector (a,b,c) van alfa moet gelden: (a,b,c)·(2,1,-2)=0 en
(a,b,c)·(1,-1,0)=0, wat ons het stelsel 2*a+b-2*c=0
en a-b=0 geeft. Uit de tweede vergelijking volgt a=b wat bij invullen in de eerste vergelijking 3*a-2*c=0 ofwel 2*c=3*a geeft. Kies a=2, dan geldt: b=2 en c=3 zodat alfa de vergelijking 2*x+2*y+3*z=d heeft. Invullen van het punt (1,1,1) geeft de uiteindelijke vergelijking 2*x+2*y+3*z=7 van alfa.

wil dit zeggen dat we hier in België hopeloos verouderd zijn of zo? Niet dat mij die meetkunde zo boeit...

Jullie zijn niet verouderd. Het is zelfs zo dat het abstractieniveau bij het wiskunde-onderwijs bij jullie van meet af aan al hoger lag dan hier in Nederland, en dat dat alleen maar hoger is geworden sinds hier in Nederland in het kader van onderwijshervormingen als de basisvorming en de Tweede Fase veel leerstof is geschrapt. Jullie hebben in België onderwerpen op het middelbaar onderwijsprogramma voor wiskunde staan die hier in Nederland pas op de universiteit worden behandeld.
Ik kan me voorstellen dat je niet zo geïnteresseerd bent in meetkunde. Mij boeit het ook niet zo, tenzij het in een lineair-algebraïsche vorm is gegoten, dus in termen van vectoren, lineaire afbeeldingen, matrices en determinanten met. Ik ben daarnaast vooral geïnteresseerd in functionaalanalyse, waarbij men vectorruimten behandelt die naast de gewone eigenschappen uit de lineaire algebra ook topologische eigenschappen hebben, vandaar dat men in dat verband van topologische vectorruimten spreekt. Mocht je hierover nader met me van gedachten willen wisselen, dan kun je me bereiken op mijn e-mailadres arno.van.asseldonk@hetnet.nl.