Laplace
 

Ik zit met de volgende problemen:

1.

De functie f(t) is gedefinieerd op [0,oneindig> en voldoet aan:

1: Integraal(0..oneindig) f(t)d(t) = 1

2: t*f(t) = 2*Integraal(0..t) f(t-u)e^(-u) du

De laplacegetransformeerde van f(t) is F(s)

a) Druk de voorwaarde (1) uit m.b.v F(s)
b) Voer Laplacetransformatie uit op de integraalvergelijking (2)
c) Bepaal F met inachtneming van (a)
d) Bepaal f

2.
Los op:

t*y(t) - 2*Integraal(0..t) y(u)cos(t-u) du = 0



Ik hoop dat iemand mij op weg kan helpen met deze opgaven :)

Integraal[0..oneindig] f[t]dt = 1
t*f[t] = 2*Integraal[0..t] f[t-u]exp(-u) du

a) De laplace getransformeerde is in het algemeen:
L[f[t]][s] = F[s] = Integraal[0..oneindig] exp[-st] f[t] dt

Neem s = 0 en je krijgt precies de gegeven integraal, oftewel:
F[0] = 1

b) Voor zowel links als rechts de transformatie uit:
Eerst het linkerlid
Integraal[0..oneindig] exp[-st]*t*f[t] dt =
Integraal[0..oneindig] -d/ds (exp[-st])*f[t] dt =
-d/ds Integraal[0..oneindig] (exp[-st])*f[t] dt =
-d/ds F[s] =
- F'[s]

Rechterlid:
Hierin staat de integraal:
Integraal[0..t] f[t-u]exp(-u) du
Dit is een convolutie, welke ik ff noteer als (f # g)[t], met g[t] = exp[-t]. De laplacegetransformeerde van een convolutie is het product van de laplacegetransformeerden van de 2 functies:
L[ (f # g)[t] ] = L[f]L[g] = F[s]G[s]

In dit geval is de laplace getransformeerde dus:
2*F[s]*L[exp[-t]] = 2*F[s]*1/(s+a)

Je krijgt dus de differentiaalvergelijking:
-F'[s] = 2*F[s]*1/(s+1)

c) Die kan je nu wel zelf oplossen. Antwoord:
F[s] = 1/[(s+1)^2]

d) Op zich zou je deze nu ook wel moeten kunnen doen. Antwoord:
t * exp[-t]

Oh, en de tweede vraag gaat vrijwel hetzelfde:

Breng de integraal naar de andere kant, en laplace-transformeer beide kanten. Hiervoor moet je weer de regels gebruiken die ik bij vraag 1 heb gebruikt (convolutie en de afgeleide van de getransformeerde). Dit levert weer een differentiaalvergelijking, welke je weer moet oplossen. Terug transformeren levert dan y[t].

Als het niet lukt moet je het maar ff zeggen.

Oke hartstikke bedankt, ik heb nu alleen nog problemen met het oplossen van de differentiaalvergelijkingen die volgen uit de integraalvergelijking, omdat die geen constante coefficienten hebben. Dat soort hebben we nog nooit gedaan en staat ook niet in ons diktaat...

Ik moet zeggen dat ik die vorm eigenlijk ook nooit 'officieel' heb behandeld, maar het blijkt vrijwel de meest simpele vorm van een diff. vgl. te zijn ;)

De algemene vorm kan je zien als:

f'[x] = f[x]g[x]

Herschrijven:

1/f[x] * df/dx = g[x]

Nu links en rechts integreren naar x:

Integraal[1/f[x] * df/dx ]dx = Integraal[ g[x] ] dx
Integraal[1/f[x] ] df = Integraal[ g[x] ] dx

De integraal links integreer je nu dus naar de functie f; niet meer naar x. Je krijgt daar dus Log[f[x]]. De integraal rechts hangt uiteraard af van de functie g[x].

De uiteindelijk oplossing is dus:

f[x] = exp[ Integraal[g[x]]dx ]

Vergeet niet dat de integraal over g nog een integratieconstante meebrengt, die als het ware de extra vrijheidsgraad van de vergelijking is.

Deze diff. vgl. kom ik erg veel tegen, dus wel handig als je hem uit je kop kent ;)

In mijn geval kwam ik uiteindelijk uit op:

Integraal[1/Y] dy= -Integraal[2s/(s²+1)] ds

Ln(Y)+c = -ln(s²+1)+c
daaruit volgt dan:

Y(s) = 1/(s²+1) dus teruggetransformeert levert dit:

y(t)=sin(t)
maar het antwoord moet zijn: y(t)=k*sin(t) (met k uit R)

waar komt die k dan vandaan?
dat heeft toch niets met een integratieconstante te maken?

Jawel hoor. Je vergeet de integratieconstante "mee in de logaritme" te nemen.

Ln[Y] = -Ln[s²+1] + C
Ln[Y] = Ln[1/(s²+1)] + Ln[k] met C = Ln[k]
Ln[Y] = Ln[k/(s²+1)]

Y = k/(s^2 +1)

oke nu snap ik em helemaal!

Bedankt :)

(y)