Verandering van variabelen in dubbele integraal

[Demon of Fire]

D is het gebied 0<y<x en 0<x<1

Bepaal de integraal

Dubbel integraal (x+y) dx dy (iterated integral)

x = u + v
y = u - v


Mijn vraag is...wat zijn nu de nieuwe grenzen van de iterated integral??

Dubbel integraal 2u du dv

Groetjes
Ben(die komende vrijdag het tentamen vector calculus heeft

[Keith]

De grenzen van de driehoek D zijn: y=0, x=1 en y=x.

Als je dit omschrijft naar u en v krijg je:
u-v=0: u=v
u+v=1: v=1-u
u+v=u-v: 2v=0

Teken deze drie lijntjes in een grafiek met u en v op de assen en daar is je nieuwe vlak.

De grenzen kan je dan zelf wel verzinnen op het oog:
0<v<1/2 en v<u<1-v

Ik denk alleen dat je de Jacobian vergeet.

| dx/du  dx/dv |   | 1  1 |
|              | = |      | = -1-1=-2
| dy/du  dy/dv |   | 1 -1 |

Of praat ik nu onzin?

[TD]

Nee hoor, geen onzin

Bij een transformatie van veranderlijken moet je inderdaad met de Jacobiaan vermenigvuldigen, je integrand is dus -4u.

[Demon of Fire]

Bedankt voor je reactie en die jacobiaan had ik al wel maar vergeten hier neer te zetten.

Overigens kom ik er nog steeds niet uit.

Mij is verteld tijdens het werkcollege dat je dan de grenzen moet invullen in de parametrisaties van x en y.

Dan kun je daar uit afleiden dat b.v als x = y overeenkomt met de lijn v = 0 in het nieuwe domein.

En dat y = 0 overeenkomt met u = v.

Als ik dat allemaal doe....dan bestaat mijn figuur uit het volgende lijnen.

als x = 1 dan v = 1-u (loopt dus diagonaal van v = 1 naar u = 1)
Als y = 0 dan u = v (loopt dus door de oorsprong)
Als y = x dan v = 0 (is dus u)

Maar wat is nu de lijn waarbij u = 0??
Dus de lijn v mis ik nog.

Of doe ik iets fout??
En wordt mijn domein door het snijpunt bepaald??

Groetjes
Ben(die dit een hele vervelende opgave vind

[TD]

Demon of Fire schreef op 24-10-2005 @ 16:43 :

als x = 1 dan v = 1-u (loopt dus diagonaal van v = 1 naar u = 1)
Als y = 0 dan u = v (loopt dus door de oorsprong)
Als y = x dan v = 0 (is dus u)

Deze 3 lijnen begrensen toch een gebied? Daarover integreer je.

[Demon of Fire]

TD schreef op 24-10-2005 @ 16:55 :
Deze 3 lijnen begrensen toch een gebied? Daarover integreer je.

Dus even aangenomen dat ik moet integreren van 0 tot het snijpunt dan betekent dat ik dat tweemaal moet doen.

Dus zowel v als u lopen van 0 tot een 1/2.

Dus Dubbelintegraal[0,1/2] 2u * 2 du dv = Integraal [0,1/2] 2u du = [u^2](0,1/2) = 1/4 is ongelijk aan een 1/2.

Als je namelijk de oorspronkelijke integraal zonder parametrisatie integreert, dan kom je op een 1/2 uit toch?

Groetjes
Ben(die waarschijnlijk iets onnozels over het hoofd ziet

[TD]

Om te beginnen een kleine rechtzetting: er dient vermenigvuldigd te worden met de absolute waarde van de Jacobiaan, dat had ik even over het hoofd gezien.

We integreren dus 4u over het gebied dat begrensd wordt door u = v, u = 1-v, v = 0.

Dus: INT(v: 0 -> 1/2) INT (u: v -> 1-v) 4u du dv = 1/2

[Demon of Fire]

Ah, dat kan natuurlijk ook...dom dom dom....je hoeft niet eens de getallen te vinden voor de grenzen van u.

Bedankt!

Groetjes
Ben(die weer een stukje wijzer is geworden

[TD]

Graag gedaan

Succes trouwens met het aankomend tentamen.