[WI] lin. algebra

[jodekaas]

Ik vroeg me af hoe je nou de standaardmatrix vindt van een lineair afb. van R² naar R² bij spiegeling in de lijn y=2x. Bij y=x kom ik er wel makkelijk uit, bij y=2x lukt het me maar niet zonder gebruik te maken van hoeken enzo.
Er moet uitkomen 1/5[ -3 4 4 3] (een 2 bij 2 matrix )

alvast bedankt!

[TD]

Misschien dat jullie dit op een andere, snellere (evt. makkelijkere) manier gezien hebben maar deze methode geldt voor isometriën in het algemeen - misschien doen jullie het ook zo. Het is in elk geval weer even geleden, maar het kan dus zo ongeveer dacht ik...

Een richtingsvector van deze rechte is e = (1,2) dus is e' = (-2,1) een loodrechte richting. Nu vormt {e,e'} een ortogonale basis voor R². Onder de spiegeling f blijft e behouden, dus f(e) = e en wordt e' van teken gewisseld, dus f(e') = -e'. Hiermee kunnen we nu de matrix F van de afbeelding tov onze basis opstellen, namelijk: F = [1, 0; 0, -1].

Als dan M de overgangsmatrix is dus onze basis en de standaardbasis, dan staan in de kolommen van M de beelden van de basisvectoren tov de standaardbasis, M is dan: M = [1, -2; 2, 1]. Nu kan je ook de inverse bepalen, M^-1 = [1/5, 2/5; - 2/5, 1/5].

Er geldt dat: E = MFM^-1 waarin E de matrix is van de afbeelding ten op zichte van de standaardbasis.

E = [1, -2; 2, 1][1, 0; 0, -1][1/5, 2/5; - 2/5, 1/5] = [- 3/5, 4/5; 4/5, 3/5] = 1/5 [- 3, 4; 4, 3]