[WI] wiskunde hulp nodig

[Mapola]

Opgave B
Het aantal personenauto’s (A) dat per dag van een nieuw aan te leggen toltunnel
gebruik zal maken, is volgens een verkeersdeskundige te berekenen met de
formule A = 400T2 − 9150T + 46 800. Hierbij is T het toltarief in euro’s.
Toltarieven hoger dan 7 euro blijven buiten beschouwing. Met het oog op een
snelle doorstroming zal de betaling op elektronische wijze geschieden. Hierdoor
is het mogelijk om een toltarief van bijvoorbeeld 2,76 euro in rekening te
brengen omdat dat niet op praktische bezwaren stuit.

(a) Bereken de totale dagopbrengst aan tolgeld voor personenauto’s bij een
toltarief van 2,00 euro per auto.
(b) Bereken in eurocenten nauwkeurig bij welk toltarief de totale dagopbrengst
aan tolgeld voor personenauto’s maximaal is.
(c) Bereken in twee decimalen nauwkeurig met hoeveel procent het aantal
personenauto’s afneemt als bij een tarief van 2,40 euro een tariefsverhoging
van 5% wordt toegepast.
Bij een zeker toltarief leidt een tariefsverhoging van 6% er toe, dat het aantal
personenauto’s dat dagelijks de tunnel gebruikt met 2.5% afneemt.
(d) Bereken in twee decimalen nauwkeurig met hoeveel procent de totale
dagopbrengst aan tolgeld voor personenauto’s door deze tariefsverhoging
zal toenemen.



Ik snap a,c en d. Alleen bij opgave B krijg je:
1200 x 3T 2(tot de macht 2) en 9150 x 2T+46800=0

En dan pas kan je de abc-formule toepassen. Dat snap ik allemaal wel. Alleen ik snap niet hoe je aan die keer 3 en keer 2 komt. Kan iemand mij dit uitleggen?

[ILUsion]

Voor opgave B heb je een afgeleide nodig om die te berekenen. Je hebt:


De totale dagomzet is dat aantal vermenigvuldigd met de tolprijs:


Als je dat laatste afleidt, krijg je:

Daarvan zoek je het nulpunt en je weet voor welke t je functie maximaal/minimaal wordt (in dit geval zal dat maximaal zijn).

Dat steunt geheel op de machtsformule van een afgeleide:
. En natuurlijk ook dat de afgeleide van een som, gelijk is aan de som van de afgeleiden.

Je kan die afgeleide gelijk aan nul stellen, makkelijk ook gevoelsmatig bekijken: je weet waarschijnlijk al wel dat een afgeleide niet meer doet dan de richtingscoëfficiënt van je grafiek bepalen in een bepaald punt. Als je dus ergens een positieve waarde voor je afgeleide vindt, weet je dat je daar een stijgende grafiek kan terugvinden; voor een negatieve waarde van de afgeleide krijg je een dalende grafiek. En voor een minimum of maximum krijg je 0 omdat je noch stijgt, noch daalt in dat punt zelf.

Voor de duidelijkheid heb ik wat grafiekjes bijgevoegd, zodat je zelf ook kan zien wat er gebeurt (let op met de schalen, die staan bij sommige grafieken op 1000 euro of 1000 wagens).