naar onder begrensd?

[bulbanos]

wat is naar onder begrensd? ik geraak niet wijs uit deze uitleg of voorbeelden!
kan je dat aan de grafiek zien?

[GinnyPig]

Naar onder begrensd betekent dat de functie of de verzameling "een kleinste waarde" heeft. De natuurlijke positieve getallen groter dan 0 zijn bijvoorbeeld naar onder begrensd, want er is een kleinste waarde (1 in dit geval).

De verzameling Z is bijvoorbeeld niet naar onder begrensd.

Die voorbeelden zijn een beetje irri, maar als je de grafiek tekent wordt het wel duidelijker. Voorbeeld 1 en 4 hebben duidelijk een minimum; voorbeeld 2 en 3 hebben een bepaalde limiet die naar min oneindig gaan.

[bulbanos]

dat is 1) x ln(x)
begrensd


dat is 2) ln(x)
niet begrensd


dat is nr 3
niet begrensd


dat is nr 4
begrensd

hoe zie je dat?

[mathfreak]

Je weet hoe de definitie van een naar beneden begrensde verzameling luidt. Het enige wat je hoeft te doen is deze definitie toe te passen op de verzameling S={f(x)|x element van I}, waarbij f een gegeven functie en I een gegeven interval voorstelt. Laat f(x) een gegeven element van S zijn, dan heet S naar beneden begrensd als er een b uit S bestaat met de eigenschap b kleiner of gelijk aan f(x). Indien zo'n b te vinden is noemen we f naar beneden begrensd op het interval I. Is zo'n b niet te vinden, dan noemen we f niet naar beneden begrensd op het interval I.

[GinnyPig]

1e en 4e functie hebben op het gegeven interval een absoluut minimum. Ze nemen dus een kleinste waarde aan.
De 2e functie gaat naar min oneindig, als x het punt x=0 nadert
De 3e functie gaat naar min oneindig als x naar oneindig gaat.

[bulbanos]

mathfreak schreef op 29-06-2003 @ 21:36:
Je weet hoe de definitie van een naar beneden begrensde verzameling luidt. Het enige wat je hoeft te doen is deze definitie toe te passen op de verzameling S={f(x)|x element van I}, waarbij f een gegeven functie en I een gegeven interval voorstelt. Laat f(x) een gegeven element van S zijn, dan heet S naar beneden begrensd als er een b uit S bestaat met de eigenschap b kleiner of gelijk aan f(x). Indien zo'n b te vinden is noemen we f naar beneden begrensd op het interval I. Is zo'n b niet te vinden, dan noemen we f niet naar beneden begrensd op het interval I.

daar het ik dus gn reet aan want dat staat er gewoon boven

ik zou graag hebben dat iemand voor díé voorbeelden de b en alle andere letters gewoon invult en zegt waarom het al dan niet naar onder begrensd is.

[Tampert]

bulbanos schreef op 30-06-2003 @ 15:28:
ik zou graag hebben dat iemand voor díé voorbeelden de b en alle andere letters gewoon invult en zegt waarom het al dan niet naar onder begrensd is.

we nemen even jouw vier voorbeelden:

1.
je kunt nemen: b=-4. Iedere waarde van de functie is groter dan -4. Volgens dezelfde argumentatie kun je ook zeggen b=-3 of -2 maar dat maakt niet uit, het gaat erom dat je tenminste 1 waarde voor b kunt vinden waarvoor geldt dat alle waarden van de functie groter zijn.

2.
niet begrensd omdat hij naar beneden doorschiet naar -oneindig. Je kunt niet zeggen: "iedere waarde van deze functie op dit interval is groter dan M" . Of je nu b=-8000 neemt of b=-1*10⁹⁹

3. idem

4. neem de waarde b=-1. Iedere waarde van deze grafiek is groter dan -1 dus de grafiek is begrensd.

[mathfreak]

Tampert schreef op 30-06-2003 @ 16:46:
we nemen even jouw vier voorbeelden:

1.
je kunt nemen: b=-4. Iedere waarde van de functie is groter dan -4. Volgens dezelfde argumentatie kun je ook zeggen b=-3 of -2 maar dat maakt niet uit, het gaat erom dat je tenminste 1 waarde voor b kunt vinden waarvoor geldt dat alle waarden van de functie groter zijn.

Omdat f gedefinieerd is op <0,1> weet je dat x>0 moet zijn en ln(x)<0, dus geldt: x*ln(x)=f(x)<0. Het blijkt dat f minimaal is als b=-e^-1, dus is f(x) naar beneden begrensd met b=-e^-1 als benedengrens.

Tampert schreef op 30-06-2003 @ 16:46:

2.
niet begrensd omdat hij naar beneden doorschiet naar -oneindig. Je kunt niet zeggen: "iedere waarde van deze functie op dit interval is groter dan M" . Of je nu b=-8000 neemt of b=-1*10⁹⁹

3. idem

4. neem de waarde b=-1. Iedere waarde van deze grafiek is groter dan -1 dus de grafiek is begrensd.

Schrijf ln(1/x)/x als -ln(x)/x. Deze functie f is gedefinieerd voor x groter of gelijk aan 1. Dit betekent dat geldt: f(x) kleiner of gelijk aan nul, dus geldt zeker: f(x)>-1, wat betekent dat b hier inderdaad de waarde -1 heeft. Omdat f(x) voor alle x in <0,1> groter dan -1 is, is f(x) naar beneden begrensd met b=-1 als benedengrens.

@bulbanos: Zoals je ziet gaat het er om dat je bij het aantonen van het al of niet naar beneden begrensd zijn van een functie gebruik maakt van de eigenschappen van de gegeven functie en dat je de definitie van het naar beneden begrensd zijn hanteert om de benedengrens b te kunnen benoemen. Het lijkt er op dat je niet alleen moeite hebt met het begrijpen van een wiskundige definitie, maar ook met het toepassen ervan. De begrippen naar boven en beneden begrensd zijn van een verzameling spelen een belangrijke rol bij de bestudering van de verzameling IR, angezien iedere naar boven begrensde deelverzameling in IR een kleinste bovengrens heeft en iedere naar beneden begrensde deelverzameling in IR een grootste benedengrens heeft. We noemen de kleinste bovengrens het supremum en de grootste benedengrens het infimum van de deelverzameling.

[GinnyPig]

mathfreak schreef op 30-06-2003 @ 19:09:
Omdat f gedefinieerd is op <0,1> weet je dat x>0 moet zijn en ln(x) ook, dus geldt: x*ln(x)=f(x)>0, wat betekent dat b hier de waarde 0 heeft. Omdat f(x) voor alle x in <0,1> groter dan 0 is, is f(x) naar beneden begrensd met b=0 als benedengrens.

Kleine herstelling: Op het interval van <0,1> geldt wel degelijk dat ln[x]<0.

Differentieren geeft:
[x*ln[x]]' = x*1/x + ln[x] = 1 + ln[x]
Gelijk stellen aan 0:
1+ln[x] = 0
ln[x] = -1
x = e^-1

Dit is dus het enige minimum of maximum op het interval <0,oneindig>. Uit de grafiek kan je verder aflezen dat het om een minimum gaat.

De ondergrens b is dus:
b = e^-1*ln[e^-1] = -e^-1

[mathfreak]

GinnyPig schreef op 30-06-2003 @ 21:53:
Kleine herstelling: Op het interval van <0,1> geldt wel degelijk dat ln[x]<0.

Je hebt gelijk. ln(x) is alleen positief voor x>1.

GinnyPig schreef op 30-06-2003 @ 21:53:
Differentieren geeft:
[x*ln[x]]' = x*1/x + ln[x] = 1 + ln[x]
Gelijk stellen aan 0:
1+ln[x] = 0
ln[x] = -1
x = e^-1

Dit is dus het enige minimum of maximum op het interval <0,oneindig>. Uit de grafiek kan je verder aflezen dat het om een minimum gaat.

De ondergrens b is dus:
b = e^-1*ln[e^-1] = -e^-1

Ik heb de fout in mijn vorige reply inmiddels hersteld en daarbij tevens vermeld dat b deze waarde heeft.

[Compugreen]

De gast/juffrouw die deze thread opgestart heeft bereid zich gegarandeerd voor op het burg ing ex van morgen

Wat vond u van het examen vandaag?
Ik heb ook deelgenomen

Groetjes uit West-Vl

[bulbanos]

Compugreen schreef op 02-07-2003 @ 15:22:
De gast/juffrouw die deze thread opgestart heeft bereid zich gegarandeerd voor op het burg ing ex van morgen

Wat vond u van het examen vandaag?
Ik heb ook deelgenomen

Groetjes uit West-Vl

srry maar die was echt wel massa's gemakkelijker dan de voorbeeldvragen en -examens. Helft halen is echt wel te doen.

zal wel iets te maken hebben met de '6u ook'-principe.
fingers crossed voor morgen

Waar heb je deelgenomen? Gent? Ik in elk geval wel.

[Compugreen]

Kortrijk

[Compugreen]

Ja het was wel te doen, kheb alles ingevuld, maar ja, zullen zien
eerlijk gezegd: ik had altijd gedacht dat morgen gemakkelijker zou zijn dan vandaag, aan de voorbeeldvragen te zien dan toch...

Groetjes en succes

[Compugreen]

Als ik me niet vergis dan moeten wij niets van rijen of reeksen kennen é?