Kansrekenen

[I-brahimovic]

Beste forummers,

Ik kan met mezelf en anderen niet goed eens worden wat nou het antwoord is op onderstaande vragen, dus maar even wat extra hulp zoeken Alles gaat puur theoretisch, ik begrijp wel dat het in de praktijk vaak anders is.

Eerst even wat inleiding. Gooi je 200 keer met een (zuivere) munt, dan verwacht je 100 keer kop en 100 keer munt te gooien. De kans op kop is immers 0.5 en in de helft van de pogingen zal kop dan boven komen te liggen. Gooi je echter 100 keer kop, dan blijft de kans op kop bij de 101e worp nog steeds 0.5.

Nu bekijk ik een loterij, waar mijn eigenlijke vraag over gaat. Stel je hebt een winkans van 1/1000000 en je speelt 1000000 keer mee. Hoe vaak verwacht je dan theoretisch te winnen? Mag je wél of niet zeggen dat die kans van 1/1000000 in houdt dat je na 1000000 keer meespelen wel een keer wint? Ik zou zeggen dat je kans (net als bij de munten) iedere loterij opnieuw weer 1/1000000 is, ongeacht hoeveel loterijen je achter je hebt liggen. Op die manier betekent 1000000 keer meespelen geen garantie van 1 keer winnen.

Aan de andere kant, de kans dat je kop gooide met een munt, was 0,5. Als je 200 keer gooide, verwachtte je 100 keer kop. Immers: n x p -> 200 x 0,5 = 100. Maar hoe zit het nou met die loterij? Ik twijfel nu aan de kans op winnen (1/1000000) en wat dit betekent als je ook daadwerkelijk 1000000 keer meespeelt. Want als je 200 keer met een munt gooit, verwacht je ook dat je 100 keer kop gooit. Als je 600 keer met een dobbelsteen gooit, verwacht je ook 100 keer een 6 te gooien. Wat is nou waar?

Tot slot nog een klein vraagje: Wat houdt precies de "wet van de grote aantallen/getallen" in? Ik geloof dat het wel met het bovenstaande samenhangt?

[mathfreak]

I-brahimovic schreef op 05-02-2004 @ 17:07:
Beste forummers,

Ik kan met mezelf en anderen niet goed eens worden wat nou het antwoord is op onderstaande vragen, dus maar even wat extra hulp zoeken Alles gaat puur theoretisch, ik begrijp wel dat het in de praktijk vaak anders is.

Eerst even wat inleiding. Gooi je 200 keer met een (zuivere) munt, dan verwacht je 100 keer kop en 100 keer munt te gooien. De kans op kop is immers 0.5 en in de helft van de pogingen zal kop dan boven komen te liggen. Gooi je echter 100 keer kop, dan blijft de kans op kop bij de 101e worp nog steeds 0.5.

Dat klopt. De kans op kop of munt is niet afhankelijk van het aantal keer dat je een munt opgooit, maar blijft altijd gelijk.

I-brahimovic schreef op 05-02-2004 @ 17:07:
Nu bekijk ik een loterij, waar mijn eigenlijke vraag over gaat. Stel je hebt een winkans van 1/1000000 en je speelt 1000000 keer mee. Hoe vaak verwacht je dan theoretisch te winnen? Mag je wél of niet zeggen dat die kans van 1/1000000 in houdt dat je na 1000000 keer meespelen wel een keer wint?

Nee, dat klopt niet. Je kunt, als je het spel 1 miljoen keer speelt, wel verwachten dat je 1 keer wint, maar je kunt niet zeggen na hoeveel keer dat gebeurt. Wat jij hier aanhaalt is een denkfout die wat dat betreft wel vaker wordt gemaakt.

I-brahimovic schreef op 05-02-2004 @ 17:07:
Ik zou zeggen dat je kans (net als bij de munten) iedere loterij opnieuw weer 1/1000000 is, ongeacht hoeveel loterijen je achter je hebt liggen. Op die manier betekent 1000000 keer meespelen geen garantie van 1 keer winnen.

Dat klopt, maar theoretisch gezien zou je wel 1 van de miljoen keer kunnen winnen, al weet je niet bij welke keer dat gebeurt.

I-brahimovic schreef op 05-02-2004 @ 17:07:
Aan de andere kant, de kans dat je kop gooide met een munt, was 0,5. Als je 200 keer gooide, verwachtte je 100 keer kop. Immers: n x p -> 200 x 0,5 = 100. Maar hoe zit het nou met die loterij? Ik twijfel nu aan de kans op winnen (1/1000000) en wat dit betekent als je ook daadwerkelijk 1000000 keer meespeelt. Want als je 200 keer met een munt gooit, verwacht je ook dat je 100 keer kop gooit. Als je 600 keer met een dobbelsteen gooit, verwacht je ook 100 keer een 6 te gooien. Wat is nou waar?

Zie in dat verband wat ik in het voorgaande heb opgemerkt.

I-brahimovic schreef op 05-02-2004 @ 17:07:
Tot slot nog een klein vraagje: Wat houdt precies de "wet van de grote aantallen/getallen" in? Ik geloof dat het wel met het bovenstaande samenhangt?

De wet van de grote aantallen luidt als volgt: bij een kansexperiment komt de experimentele kans dichter bij de theoretische kans te liggen, naarmate het kansexperiment vaker wordt uitgevoerd.

[I-brahimovic]

Bedankt mathfreak

Ik begrijp dat je niet weet of je bij de 500000e trekking wint, bij de 34e of misschien pas bij de 1000000e. In principe heb je steeds die kans van 1/1000000, maar je weet niet wanneer je ook echt wint.

Waar ik nu nog een beetje mee zit: theoretisch zou ik veronderstellen dat je met n = 1000000 (aantal pogingen) en p = 1/1000000 (kans) verwacht 1000000 x 1/1000000 = 1 keer te winnen als je 1000000 keer mee doet. Dit naar analogie van de muntexperimenten. Natuurlijk kun je ook 0 keer, of zelfs tot 1 miljoen keer winnen. Maar ik heb geleerd dat de verwachtingswaarde van een experiment gegeven wordt door de eerder beschreven n x p. Voor munten wordt dit dus ook vaak gebruikt, maar mag je nu ook zeggen dat je in principe 1 keer wint als je 1000000 keer speelt? Ik bedoel dus: is die formule n x p in dit geval geldig?

[ProPHeT]

n x p, ofwel de verwachtingswaarde is niet meer dan dat, namelijk een waarde die het meest waarschijnlijk is. Je kan totaal geen feitelijke uitspraken doen aan de hand van een kans.

[mathfreak]

I-brahimovic schreef op 05-02-2004 @ 19:22:
Bedankt mathfreak

Ik begrijp dat je niet weet of je bij de 500000e trekking wint, bij de 34e of misschien pas bij de 1000000e. In principe heb je steeds die kans van 1/1000000, maar je weet niet wanneer je ook echt wint.

Waar ik nu nog een beetje mee zit: theoretisch zou ik veronderstellen dat je met n = 1000000 (aantal pogingen) en p = 1/1000000 (kans) verwacht 1000000 x 1/1000000 = 1 keer te winnen als je 1000000 keer mee doet. Dit naar analogie van de muntexperimenten. Natuurlijk kun je ook 0 keer, of zelfs tot 1 miljoen keer winnen. Maar ik heb geleerd dat de verwachtingswaarde van een experiment gegeven wordt door de eerder beschreven n x p. Voor munten wordt dit dus ook vaak gebruikt, maar mag je nu ook zeggen dat je in principe 1 keer wint als je 1000000 keer speelt? Ik bedoel dus: is die formule n x p in dit geval geldig?

Ja, dat mag. Dat volgt namelijk ook direct uit de verwachtingswaarde zelf.

[I-brahimovic]

Allebei bedankt, ik begrijp het!

[Dvalin]

bij een geometrische verdeling met kans p, is je verwachtingswaarde 1/p

dus hier is de verwachtingswaarde dus 1 / (1/1000000) = 1000000