Wiskunde B1 + Integreren

[dream]

Ik zit vast bij een oefensom.

Ik moet de lengte berekenen van de grafiek bij de functie
f ( x ) = x �ã x over het domein [0,4]. Heb het antwoordenboek erbij, die geeft de primitieve F (x) = 8/27(1+2,25x)^1,5.

�ã = wortel!

Ik snap dus alleen voor geen meter hoe ze op die 8/27 komen, het klopt, daarom kan ik het niet uitstaan!

Who could help?

Tnx in advance,

de vriend van Dream

[mathfreak]

Laat f een gegeven functie zijn, dan is de lengte van de grafiek van f op het interval [a,b] te vinden door de primitieve van g: x->sqrt(1+(f')^2) te bepalen. Indien deze primitieve G is wordt de lengte van het lijnstuk gegeven door G(b)-G(a).
In de gegeven opgave is f gegeven door het voorschrift f: x->x*sqrt(x) ofwel f(x)=x^1 1/2,
dus f'(x)=1 1/2*x^1/2=1 1/2*sqrt(x), dus (f'(x))^2=2 1/4*x
en g(x)=sqrt(1+2 1/4*x)
=(1+2 1/4*x)^1/2. De primitieve G wordt dan gegeven door
G(x)=1/2 1/4*1/1 1/2*(1+2 1/4*x)^1 1/2+c
=4/9*2/3*(1+2 1/4*x)^1 1/2+c
=8/27*(1+2 1/4*x)^1 1/2+c. De lengte van de grafiek op het interval [0,4] wordt gegeven door G(4)-G(0)=80/27*sqrt(10)-8/27
=8/27(10*sqrt(10)-1).

[Ignorantia]

Wat is dat voor iets, de primitieve opstellen door WORTEL(1+afgeleide^2)? Is dit misschien een stuk wiskunde dat ik nog niet gehad heb? Waarom deze manier?

Zelf kan ik wel een primitieve opstellen, die volgens de GR correct is, op deze manier:

f(x)= x WORTEL(x)

Dat is ook te schrijven als x ^ 1,5.

De primitieve heeft ipv dezelfde exponent, die van eentje hoger, dus niet 1,5 maar 2,5.

Verder is het zo dat x^ 2,5 gelijk is aan x^2 * x^ 0,5 (oftewel WORTEL(x))

Voor de macht van x moet dan het getal 1/(nieuwe exponent) staan, oftewel 1/2,5 = 0,4 = 2/5.

Als we de primitieve F(x) noemen, levert dit dus de primitieve

F(x) = 0,4x * WORTEL(x) + c

Ik neem aan dat sqrt een afkorting is voor Square Root, in het Nederlands dus de 'normale' wortel (tweedemachtswortel). Klopt dat?

Blijft de vraag: waarom is de primitieve ook op de manier op te stellen die ik niet ken?

[Ignorantia]

Volgens de GR levert de manier die ik niet ken trouwens niet de juiste primitieve. De numerieke afgeleide en de functie f(x) = xWORTEL(x) vallen niet samen in de tabel. Bij de manier die ik gebruikte is dat wel het geval. Hoe zou dit kunnen komen?

[Passiepascal]

Ignorantia schreef:
Wat is dat voor iets, de primitieve opstellen door WORTEL(1+afgeleide^2)? Is dit misschien een stuk wiskunde dat ik nog niet gehad heb? Waarom deze manier?

Hij stelt de primitieve niet op DOOR wortel(1+afgeleide^2) maar hij stelt de primitieve op VAN wortel(1+afgeleide^2).

Dit is de algemene manier om de lengte van een lijnstuk te bereken: de intergraal van a tot b van "wortel(1+afgeleide^2)"

[Ignorantia]

Heeej, wacht eens even, er valt mij een kwartje, ja deze manier herken ik nu wel! Zelf ook gewoon met wiskunde gehad, de lengte berekenen van een bepaald lijnstuk. Alleen door de rare internetnotaties had ik hem niet herkend...

Hoe zat het ook al weer...o ja, een benadering van de lijn zou de som van het steeds toepassen van de stelling van Pythagoras kunnen zijn.

Dit levert de benadering WORTEL( dx ^ 2 + dy ^2)

Dit is gelijk aan WORTEL (dx ^ 2(1+(dy/dx)^2))

oftewel

WORTEL(dx ^2 ) * WORTEL(1 + (dy/dx) ^2)

= dx * WORTEL(1+f'(x)^2)

Als de limiet van dx naar nul gekozen wordt, is de lengte exact te berekenen. Dat is dus de integraal van WORTEL(1+f'(x)^2) tussen twee bepaalde x-waarden.

Ik snap 'em weer. Ik las de uitleg niet goed (of hij was te onduidelijk, maar ik ga niemand aanvallen...)

[mathfreak]

Ignorantia schreef:

Ik neem aan dat sqrt een afkorting is voor Square Root, in het Nederlands dus de 'normale' wortel (tweedemachtswortel). Klopt dat?

Dat klopt. De afkorting sqrt(x) voor de (vierkants)wortel uit x wordt in de meeste programmeertalen gebruikt en wordt door mij en andere forumbezoekers regelmatig hier op het forum toegepast om berekeningen met (vierkants)wortels aan te geven.
Het is in dit geval tevens interessant om op te merken dat de oude Grieken de (vierkants)wortel uit A interpreteerden als de lengte van een vierkant met oppervlakte A, vandaar de naam vierkantswortel, die je ook in het Engelse "square root" terug vindt. Het is tevens interessant om op te merken dat het latijnse woord voor "wortel" het woord "radix" is en dat ons wortelteken van de eerste letter van dit woord is afgeleid.

[Ignorantia]

Nieuwe vraag:

Hoe is de primitieve te berekenen van WORTEL(1+2,25x)?

[dream]

hartelijk dank, volgens mij kom ik hier verder mee!

[Passiepascal]

Ignorantia schreef:
Nieuwe vraag:

Hoe is de primitieve te berekenen van WORTEL(1+2,25x)?

WORTEL(1+2,25x) = (1+2,25x)^.5

y= u^.5 met u = 1+2,25x

dy/du = .5U^-.5 = 1/(2sqrt(U))
du/dx = 2,25

dy/dx = 2,25/(2sqrt(1+2,25x))

ofwel: 2,25
----------------------
2wortel(1+2,25x)

[mathfreak]

Ignorantia schreef:
Nieuwe vraag:

Hoe is de primitieve te berekenen van WORTEL(1+2,25x)?

Nieuw antwoord: de primitieve F van de functie f: x->(a*x+b)^n heeft het voorschrift
F: x->1/a*1/(n+1)(a*x+b)^(n+1) + c, dus in jouw voorbeeld krijgen we a=2 1/4, b=1 en n=1/2, wat als primitieve
1/2 1/4*1/1 1/2*(1+2 1/4*x)^1 1/2+c
=4/9*2/3*(1+2 1/4*x)^1 1/2+c=8/27*(1+2 1/4*x)^1 1/2+c
=8/27*(1+2 1/4*x)*sqrt(1+2 1/4*x)+c oplevert. Merk op dat dit in feite al in mijn reply van 18.30 uur stond vermeld, hetgeen jouw vraag dus in feite overbodig maakt

[Passiepascal]

oeps, ik gaf de afgeleide

[Ignorantia]

Hihi, PPascal, dat had ik al in de gaten...

Mathfreak bedankt, heb voor mezelf even bewezen dat dit idd de juiste primitieve is.