[WI] bewijs wortel2 irriationaal dmv priemfactoren

[liner]

hoi hoi.
ik heb een vraagje.
ik heb ergens gelezen over het bewijs dat wortel 2 geen rationaal getal is dmv priemfactoren.
als p en q gehele getallen zjin dan
p²=2.q²

er staat " priemfactor 2 komt n keer voor in p², maar n+1 keer in 2.q² ect.."

ik snap niet hoe ze aan deze conclusie zijn gekomen.!!


maar als je aanneemt dat deze klopt dan kun je uiteindelijk bewijzen dat p en q niet geheel kunnen zijn. en dat wortel2 inderdaad irrationaal is..

bedankt

[mathfreak]

liner schreef op 03-10-2004 @ 21:01 :
hoi hoi.
ik heb een vraagje.
ik heb ergens gelezen over het bewijs dat wortel 2 geen rationaal getal is dmv priemfactoren.
als p en q gehele getallen zjin dan
p²=2.q²

er staat " priemfactor 2 komt n keer voor in p², maar n+1 keer in 2.q² ect.."

ik snap niet hoe ze aan deze conclusie zijn gekomen.!!


maar als je aanneemt dat deze klopt dan kun je uiteindelijk bewijzen dat p en q niet geheel kunnen zijn. en dat wortel2 inderdaad irrationaal is..

bedankt

Uit p²=2.q² volgt dat de priemfactor 2 in 2.q² 1 keer meer voorkomt dan in p², dus als p² n keer de priemfactor 2 bevat, dan bevat 2.q² n+1 keer de priemfactor 2. In feite ga je uit van de veronderstelling p/q=sqrt(2)
met ggd(p,q)=1, waarbij ggd(p,q) de grootste gemene deler van p en q voorstelt. Uit p/q=sqrt(2) volgt door kwadrateren: p²/q²=2, dus p²=2*q². Omdat p² een priemfactor 2 bevat is p² even. Er geldt dan dat p zelf ook even is, dus p=2*m, dus p²=4*m²=2*q², dus q²=2*m², dus q is ook even, dus ggd(p,q)=2. Dit is echter in tegenspraak met de veronderstelling ggd(p,q)=1. Stel p is oneven, dus p=2*m+1,
dus p²=(2*m+1)²=4*m²+4*m+1=2*q². Omdat p²=4*m²+4*m+1 oneven is en 2*q² even is kan p niet oneven zijn, dus p is even, en aangezien q dan ook even is geldt: ggd(p,q)=2. Omdat dit echter in tegenspraak is met de veronderstelling ggd(p,q)=1 zien we dus dat er geen getallen p en q te vinden zijn met de eigenschap p/q=sqrt(2), dus sqrt(2) is irrationaal, wat te bewijzen was.

Offtopic: De afkorting voor et cetera is etc.

[liner]

mathfreak schreef op 03-10-2004 @ 21:26 :
Uit p²=2.q² volgt dat de priemfactor 2 in 2.q² 1 keer meer voorkomt dan in p², dus als p² n keer de priemfactor 2 bevat, dan bevat 2.q² n+1 keer de priemfactor 2. In feite ga je uit van de veronderstelling p/q=sqrt(2)
met ggd(p,q)=1, waarbij ggd(p,q) de grootste gemene deler van p en q voorstelt. Uit p/q=sqrt(2) volgt door kwadrateren: p²/q²=2, dus p²=2*q². Omdat p² een priemfactor 2 bevat is p² even. Er geldt dan dat p zelf ook even is, dus p=2*m, dus p²=4*m²=2*q², dus q²=2*m², dus q is ook even, dus ggd(p,q)=2. Dit is echter in tegenspraak met de veronderstelling ggd(p,q)=1. Stel p is oneven, dus p=2*m+1,
dus p²=(2*m+1)²=4*m²+4*m+1=2*q². Omdat p²=4*m²+4*m+1 oneven is en 2*q² even is kan p niet oneven zijn, dus p is even, en aangezien q dan ook even is geldt: ggd(p,q)=2. Omdat dit echter in tegenspraak is met de veronderstelling ggd(p,q)=1 zien we dus dat er geen getallen p en q te vinden zijn met de eigenschap p/q=sqrt(2), dus sqrt(2) is irrationaal, wat te bewijzen was.

Offtopic: De afkorting voor et cetera is etc.

bedankt voor de reactie, van dit bewijs heb ik wel gehoord, het bewijs dat ik bedoelde duidde als volgt: a=p²=2q²
het getal a kan ontbonden worden in priemfactoren in twee verschillende normen, eentje met n keer 2 en de andere met n+1 keer2. Dat is in tegenspraak met de stelling dat elk geheel getal kent een unieke ontbinding. dus a is geen geheel getal ect..

maar wat ik niet goed snapte..
Uit p²=2.q² volgt dat de priemfactor 2 in 2.q² 1 keer meer voorkomt dan in p², dus als p² n keer de priemfactor 2 bevat, dan bevat 2.q² n+1 keer de priemfactor 2.
maar het begint nu een beetje helder te worden..