ongelijkheid met absolute waarde

[liner]

hoi hoi.
ik heb een ongelijkheid hier maar ik kan die niet aantonen..

x een reeel getal zodat |x-1|<=1/3

toon aan:
|x-1|3/8 <=|((x²+1)/(x+2))-2/3|<=|x-1|/2

ik heb geprobeerd de linkere ongelijkheid op te lossen maar ik kwam er niet uit, ik deed dus plotten maar ik zag de linkere ongelijkheid niet klopt.

.hoe zit het dan met de rechter ongelijkheid.

[GinnyPig]

|x-1|<=1/3

Dus:
2/3 <= x <= 4/3

Dan de ongelijkheid:
|x-1|3/8 <=|((x²+1)/(x+2))-2/3|<=|x-1|/2

|((x²+1)/(x+2))-2/3| =
|((x²+1)-2/3(x+2))/(x+2)| =
|(x²-2/3x-1/3)/(x+2)| =
|(x-1)(x+1/3)/(x+2)| =
|x-1|*|(x+1/3)/(x+2)|

Er kan dus gedeeld worden door |x-1|. De ongelijkheid is nu dus:
3/8 <=|(x+1/3)/(x+2)|<=1/2

Op het interval: [2/3,4/3]

Verder met de ongelijkheid:
3/8 <=|(x+1/3)|/|(x+2)|<=1/2
3/8|x+2| <=|x+1/3|<=1/2|x+2|

Omdat de verbanden (|x+2| en |x+1/3|) lineair zijn, en de functies (x+2) en (x+1/3) op het interval positief zijn, is het voldoende om alleen de eindpunten te vergelijken.

Voor x = 2/3:
3/8*|x+2| = 1
|x+1/3| = 1
1/2|x+2| = 4/3
In dit punt geldt dus:
3/8|x+2| = |x+1/3| <1/2|x+2|

Voor x = 4/3
3/8*|x+2| = 5/4
|x+1/3| = 5/3
1/2|x+2| = 5/3
In dit punt geldt dus:
3/8|x+2| < |x+1/3| = 1/2|x+2|

Vanwege lineairiteit kan |x+1/3| niet op een ander punt 1 van de grafieken doorsnijden. En hiermee is dus de ongelijkheid aangetoond.

[liner]

hier zat ik vast : bij het factoriseren van |(x²-2/3x-1/3)/(x+2)|
goed opgemerkt.. en bedankt weer