A,B,C uitdrukken in x,y,z..

[liner]

ook gelukkig nieuwjaar.. (alweer een nieuw jaar!)


hier een vraagje
stel
A=x+y-z/2
B=x+z-y/2
C=y+z-x/2

Druk x,y en z uit in A,B en C
ik weet niet of dat kan.. ik heb een beetje geprobeerd maar nog niet geluk.
Ik wil deze toepassen om de lengten van de zijden van een driehoek elk apart uitdrukken in lengten van de zwaartelijnen.


de lengte zwaartelijn door A kan berekend worden mbv: m²_a=(b²+c²-a²/2)/2 .
alvast bedankt...

Dat kan zeker, je hebt namelijk 3 onafhankelijke vergelijkingen en 3 onbekenden. Je hoeft dus slechts de vergelijkingen in een matrix te stoppen en te vegen. Dit levert, rekenfouten voorbehouden:

x = 23/21 A - 16/21 B - 10/7 C.
y = 10/21 A - 6/21 B + 8/21 C.
z = -2/7 A +4/7 B + 4/7 C.

Mephostophilis schreef op 02-01-2005 @ 10:33 :
Dat kan zeker, je hebt namelijk 3 onafhankelijke vergelijkingen en 3 onbekenden. Je hoeft dus slechts de vergelijkingen in een matrix te stoppen en te vegen. Dit levert, rekenfouten voorbehouden:

x = 23/21 A - 16/21 B - 10/7 C.
y = 10/21 A - 6/21 B + 8/21 C.
z = -2/7 A +4/7 B + 4/7 C.

dit kan al niet kloppen, aangezien erover een factor 1/9 in moet zitteen .. waarschijnlijk heb je rekenfouten gemaakt .. maar het moet wel gewoon oplosbaar zijn, daar het een eenvoudig lineair stelsel is

[pino123]

mathfreak schreef op 02-01-2005 @ 14:11 :
Herschrijf het stelsel als
2*x+2*y-z=2*A
2*x-y+2*z=2*B
x+2*y+2*z=2*C.
Uit de eerste vergelijking volgt: z=2*x+2*y-2*A. Invullen hiervan in de laatste 2 vergelijkingen geeft dan het stelsel
2*x-y+4*x+4*y-4*A=6*x+3y-4*A=2*B
x+2*y+4*y-4*A=x+6*y-4*A=2*C.
Uit x+6*y-4*A=2*C volgt: x=-6*y+4*A+2*C. Invullen hiervan in
6*x+3y-4*A=2*B geeft dan: -36*y+24*A+12*C+3y-4*A=2*B, dus -33*y=-20*A+2*B-12*C, dus y=20/33*A-2/33*B+4/11*C, dus x=-3 7/11*A+4/11*B-2 2/11*C+4*A+2*C=4/11*A+4/11*B-2/11*C en z=8/11*A+8/11*B-4/11*C+1 7/33*A-4/33*B+8/11*C-2*A=1 31/33*A+20/33*B+4/11*C-2*A=-2/33*A+20/33*B+4/11*C.

owkeej
hallelujah

Het lastige is dat je met het vegen van matrices nogal snel rekenfouten maakt (ik tenminste), zeker als je met breuken moet gaan rekenen.

Edit: ik heb tenminste één fout ontdekt in mijn berekening, dus die is in ieder geval fout. Mathfreak's berekening zal wel kloppen.

Mephostophilis schreef op 02-01-2005 @ 14:30 :
Het lastige is dat je met het vegen van matrices nogal snel rekenfouten maakt (ik tenminste), zeker als je met breuken moet gaan rekenen.

Edit: ik heb tenminste één fout ontdekt in mijn berekening, dus die is in ieder geval fout. Mathfreak's berekening zal wel kloppen.

wat mathfreak uitrekend klopt ook niet

als je alle factoren, met 2 vermenigvuldigd, zie je al meteen, dat er een factor 1/9 te voorschijn moet komen in het antwoord .. zoals ik al eerder zei
1/(2²+2²+1²) = 1/9

---

je ziet bv gelijk:
A - B = 3y/2 - 3z/2
B+ 2C = 3z + 3y/2

en dus (A-B) - (B+2C) = -9z/2
en dus z = (4B+4C-2A)/9

wegens symmetrie dan onmiddelijk:
y = (4A+4C-2B)/9
x = (4A+4B-2C)/9

[mathfreak]

BezoekerTT schreef op 02-01-2005 @ 15:08 :
wat mathfreak uitrekent klopt ook niet

als je alle factoren, met 2 vermenigvuldigt, zie je al meteen, dat er een factor 1/9 te voorschijn moet komen in het antwoord .. zoals ik al eerder zei
1/(2²+2²+1²) = 1/9

---

je ziet bv gelijk:
A - B = 3y/2 - 3z/2
B+ 2C = 3z + 3y/2

en dus (A-B) - (B+2C) = -9z/2
en dus z = (4B+4C-2A)/9

wegens symmetrie dan onmiddelijk:
y = (4A+4C-2B)/9
x = (4A+4B-2C)/9

Ik heb mijn reply inmiddels verwijderd, dus vergeet die uitwerking van mij maar.
Ik waag bij deze even een nieuwe poging:
Herschrijf het stelsel als
2*x+2*y-z=2*A
2*x-y+2*z=2*B
-x+2*y+2*z=2*C.
Uit de derde vergelijking volgt: x=2*y+2*z-2*C. Invullen hiervan in de eerste 2 vergelijkingen geeft dan het stelsel
4*y+4*z-4*C+2*y-z=6*y+3*z-4*C=2*A
4*y+4*z-4*C-y+2*z=3*y+6*z-4*C=2*B.
Vermenigvuldig de onderste vergelijking met 2. Dit geeft het stelsel
6*y+3*z-4*C=2*A
6*y+12*z-8*C=4*B. Door de onderste vergelijking van de bovenste af te trekken vinden we dan: -9*z+4*C=2*A-4*B, dus z=-2/9*A+4/9*B+4/9*C. Invullen hiervan in 6*y+3*z-4*C=2*A geeft dan:
6*y-2/3*A+1 1/3*B+1 1/3*C-4*C=2*A, dus 6*y=2 2/3*A-1 1/3*B+2 2/3*C, dus y=4/9*A-2/9*B+4/9*C
en x=8/9*A-4/9*B+8/9*C-4/9*A+8/9*B+8/9*C-2*C
=4/9*A+4/9*B+1 7/9*C-2*C=4/9*A+4/9*B-2/9*C.

[pino123]

BezoekerTT schreef op 02-01-2005 @ 15:08 :
wat mathfreak uitrekend klopt ook niet

uitrekent

en mathfreak heeft een fout, wat een uitzonderlijk moment is dit

[mathfreak]

pino123 schreef op 02-01-2005 @ 17:13 :
en mathfreak heeft een fout, wat een uitzonderlijk moment is dit

Tot zover dan het uitzonderlijke moment, aangezien ik de desbetreffende fout inmiddels heb gecorrigeerd.

[liner]

bedankt allemaal voor dit meesterrekenwerk..
erg veel , helaas heb ik geen maple/derive of mathematica...misschien ging het een stukje eenvoudiger, en k dacht niet dat het zoveel rekenwerk zou kosten....

tot de volgende keer weer..