[wi] reekssom

[bulbanos]

hoe bepaal je de reekssom van
sum(x^n/n,n=1..inf) en van sum(x^n/(n+2),n=1..inf)

[mathfreak]

bulbanos schreef op 31-01-2005 @ 21:16 :
hoe bepaal je de reekssom van
sum(x^n/n,n=1..inf) en van sum(x^n/(n+2),n=1..inf)

Ga eerst na of beide reeksen inderdaad convergent zijn. Definieer voor de eerste reeks de rij a_n=xⁿ/n en bepaal a_n+1/a_n=xⁿ⁺¹/(n+1):xⁿ/n
=xⁿ⁺¹/(n+1)*n/xⁿ=x*n/(n+1). Voor x<1 geldt: a_n+1/a_n<1 voor n naderend tot oneindig, dus dan is de bijbehorende reeks ook convergent. Definieer voor de tweede reeks de rij b_n=xⁿ/(n+2). Nu geldt: b_n<a_n, dus als de reeks voor a_n convergent is, dan geldt dat ook voor de reeks voor b_n. Voor x<1 geldt: xⁿ/n<1/n en xⁿ/(n+2)<1/(n+2).

[bulbanos]

ja ok, wetende dat het convergeert, hoe kom ik tot de reekssom?

[GinnyPig]

De eerste herken ik als de Taylorreeks van - Log[1-x]...

De tweede kan je herschrijven, defineer k = n+2:
SOM_n=1^inf x^n/(n+2)
SOM_k=3^inf x^(k-2)/k

Merk op dat k bij 3 begint. Maak de rij weer 'af' door de termen k=1 en k=2 erbij op te tellen en af te trekken:
-(x^(1-2)/1 + x^(2-2)/2) + SOM_k=1^inf x^(k-2)/k =
-(x^(-1) + 1/2) + SOM_k=1^inf x^(k-2)/k
-(x^(-1) + 1/2) + x^(-2)*SOM_k=1^inf x^k/k
Maak gebruik van de vorige som:
-(x^(-1) + 1/2) - x^(-2)*Log[1-x] =
-1*( 1/x + 1/2 + 1/x² Log[1-x] )

Misschien kan je de eerste som nog ander oplossen, want zo is ie natuurlijk een beetje flauw.

[bulbanos]

thx!