[WI]Bewijs halveringsformule

[real.scary]

Hallo, ik moet allerlei goniometrische formules bewijzen, nu is het me al gelukt om de somformule en verschilformule van de sinus te bewijzen. Weet iemand of ik uberhaupt de halveringsformule kan afleiden uit de somformule of verschilformule van de sinus ?

[mastertime]

bedoel je zoiets als:
sina=2t/(1+t²) waarbij t=tana/2 ?
zo moeilijk is dat niet..
sina=2sina/2*cosa/2
en we weten al dat sin²a/2+cos²a/2=1
dus

sina=2sina/2*cos(a/2)/1=2sina/2*cos(a/2)/(sin²a/2+cos²a/2)

en nu moet je zowel de teller als de noemer van de vetgedrukte formule delen door cos²a/2

[real.scary]

ik heb het even voor mezelf duidelijk opgeschreven op een papiertje, maar zie niet echt wat je nu precies bedoelt en aan het doen bent...
is er misschien niet een site waar het duidelijk met behulp van plaatjes ed uitgelegd word ? op google kon ik weinig vinden

het volgt toch gelijk uit de somformule immers:

sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

mja .. neem a=b .. en je bent klaar

trouwens al deze identiteiten, zijn ook eenvoudig af te leiden, met behulp van de complexe e-machten

[mathfreak]

4332er schreef op 07-02-2005 @ 15:55 :
al deze identiteiten, zijn ook eenvoudig af te leiden, met behulp van de complexe e-machten

Dan moet je dat wel gehad hebben, anders heb je er nog niets aan.

@real.scary: Er geldt: cos(2*x)=cos²(x)-sin²(x)=1-2*sin²(x)=2*cos²(x)-1, dus sin²(x)=1/2-1/2*cos(2*x) en cos²(x)=1/2+1/2*cos(2*x).

[real.scary]

mathfreak schreef op 07-02-2005 @ 16:42 :
Dan moet je dat wel gehad hebben, anders heb je er nog niets aan.

@real.scary: Er geldt: cos(2*x)=cos²(x)-sin²(x)=1-2*sin²(x)=2*cos²(x)-1, dus sin²(x)=1/2-1/2*cos(2*x) en cos²(x)=1/2+1/2*cos(2*x).

ahzo nu is het me allemaal een stuk duidelijker
wel erg toevallig er was vandaag ook iemand die ongeveer dezelfde vraag stelde op wisfq o.0

nu met die uitleg en dat van jullie is het me allemaal hartstikke duidelijk , tis gewoon maar wat je invult in de somformule en als je idd gewoon A=B invult komt er de verdubbelingsformule uitrollen
tnx

[mastertime]

real.scary schreef op 07-02-2005 @ 15:48 :
ik heb het even voor mezelf duidelijk opgeschreven op een papiertje, maar zie niet echt wat je nu precies bedoelt en aan het doen bent...
is er misschien niet een site waar het duidelijk met behulp van plaatjes ed uitgelegd word ? op google kon ik weinig vinden

k zat blijbkaar de verkeerde identiteit te 'bewijzen'...

[real.scary]

Nog even een heel klein vraagje:
de verschilformule van de sinus is:
sin(a-b)=sin a • cos b - cos a • sin b

als ik dan de a vervang door 1/2pi-a krijg ik dit:
sin((1/2pi-a)-b)=sin(1/2pi-a) • cos b - cos(1/2pi-b) • sin b
oftewel
cos(a-b)=cos a • cos b - sin a • sin b

Heb ik hier nu mee zojuist de cosinus verschilformule bewezen ? En kan iemand misschien even vertellen wat ik op het tentamen erbij zou moeten zetten als ik a vervang voor 1/2pi-a, het lijkt allemaal logisch maar om dit te doen zonder er een uitleg bij te zetten lijkt me niet echt goed...

[mathfreak]

real.scary schreef op 07-02-2005 @ 19:46 :
Nog even een heel klein vraagje:
de verschilformule van de sinus is:
sin(a-b)=sin a • cos b - cos a • sin b

als ik dan de a vervang door 1/2pi-a krijg ik dit:
sin((1/2pi-a)-b)=sin(1/2pi-a) • cos b - cos(1/2pi-b) • sin b
oftewel
cos(a-b)=cos a • cos b - sin a • sin b

Heb ik hier nu mee zojuist de cosinus verschilformule bewezen ? En kan iemand misschien even vertellen wat ik op het tentamen erbij zou moeten zetten als ik a vervang voor 1/2pi-a, het lijkt allemaal logisch maar om dit te doen zonder er een uitleg bij te zetten lijkt me niet echt goed...

Je formule voor cos(a-b) klopt niet. Er geldt: cos(a-b)=sin(1/2*pi-(a-b))
=sin(1/2*pi-a+b)=sin(1/2*pi-a)*cos(b)+cos(1/2*pi-a)*sin(b)
=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b).

[real.scary]

mathfreak schreef op 07-02-2005 @ 20:12 :
Je formule voor cos(a-b) klopt niet. Er geldt: cos(a-b)=sin(1/2*pi-(a-b))
=sin(1/2*pi-a+b)=sin(1/2*pi-a)*cos(b)+cos(1/2*pi-a)*sin(b)
=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b).

waar komt die + ineens vandaan ? ik zal hem even intypen zoals ik hem heb gedaan
sin(a-b)=sin a * cos b - cos a * sin b
sin (1/2pi-(a-b)=sin (1/2pi-a) * cos b - cos (1/2pi-a) * sin b
cos (a-b)=cos a * cos b - sin a * sin b


ik heb gebruikt: sin(1/2pi-a)=cos a
cos (1/2pi-a)=sin a

(ik heb de + die ik bedoel even onderstreept)

De formule van Euler is heel handig om goniometrische identiteiten te bewijzen:

exp (it) = cos t + i sin t

[real.scary]

dat is wat omslachtig aangezien ik de formule van euler nog niet heb gehad, misschien wel leuk om eens te bekijken maar heb nu wat weinig tijd
maar ik heb al de oplossing gevonden, ik had de 1/2pi-a in de verschilformule van de sinus ingevuld, maar je moet dit dus doen in de somformule (zei de leraar tegen me)
nu heb ik dat gedaan en komt er netjes de verschilformule van de cosinus uitrollen =) bedankt

real.scary schreef op 08-02-2005 @ 13:19 :
misschien wel leuk om eens te bekijken

Inderdaad, bijvoorbeeld:

2*cos(x + a) = exp(i(x+a)) + exp(-i(x+a))
2*cos(x + a) = exp(ix)exp(ia) + exp(-ix)exp(-ia)
= (cos x + i sin x) (cos a + i sin a) + (cos -x + i sin -x)(cos -a + i sin -a)
= cos x * cos a - sin x sin a + i sin a * cos x + i sin x * cos a + cos x * cos a - sin x * sin a - i sin x * cos a - i sin a * cos x
= 2 (cos x * cos a - sin x * sin a)

(ik heb gebruik gemaakt van cosh ix = cos x, cos -x = cos x en sin -x = -sin x)

[mathfreak]

real.scary schreef op 07-02-2005 @ 20:43 :
waar komt die + ineens vandaan ? ik zal hem even intypen zoals ik hem heb gedaan
sin(a-b)=sin a * cos b - cos a * sin b
sin (1/2pi-(a-b)=sin (1/2pi-a) * cos b - cos (1/2pi-a) * sin b
cos (a-b)=cos a * cos b - sin a * sin b


ik heb gebruikt: sin(1/2pi-a)=cos a
cos (1/2pi-a)=sin a

(ik heb de + die ik bedoel even onderstreept)

De fout die jij maakt is dat je 1/2*pi-(a-b) gelijk stelt aan (1/2*pi-a)-b. Er geldt echter: 1/2*pi-(a-b)=1/2*pi+(-1)(a-b)=1/2*pi-a+b.
Er geldt immers: -a=-1*a en -(a-b)=-1(a-b)=-1*a+(-1)*-b=-a+b.
Voor cos(a-b)=sin(1/2*pi-(a-b))=sin((1/2*pi-a)+b) geeft dit dus
sin(1/2*pi-a)*cos(b)+cos(1/2*pi-a)*sin(b)=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b).