[WIS] Uitleggen 1-op-1 correspondenties

[Upior]

Hoe kun je het beste uitleggen waarom 1-op-1 mogelijk is?

Als je bijvoorbeeld wil bewijzen dat |N| = |Z dan kun je zeggen dat je in plaats van Z = {.. -2, -1, 0, 1, 2..), Z als een alternerende reeks schrijft: Z = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3...} en van al die getallen de absolute waarde neemt, je de verzameling op 1-op-1 correspondentie kunt plaatsen met N. Maar waarom kun je dan bijvoorbeeld zomaar de absolute waarde van Z nemen en dan ineens zeggen dat |N]| = |Z|?

Misschien een domme vraag maar ik wil het graag weten...

Ik begrijp je notatie niet helemaal, maar als je wilt bewijzen dat er een één-op-één-relatie bestaat tussen de natuurlijke en de gehele getallen kun je als volgt te werk gaan.

N = 1,2,3,4...
Laat nu 1 overeen komen met 0, 2 met 1, 3 met -1, 4 met 2, 5 met -2, enzovoorts. Als je op deze manier alle natuurlijke getallen afgaat, ga je ook alle gehele getallen af.

[Young Grow Old]

Upior schreef op 17-02-2005 @ 15:17 :
Maar waarom kun je dan bijvoorbeeld zomaar de absolute waarde van Z nemen en dan ineens zeggen dat |N]| = |Z|?

Misschien een domme vraag maar ik wil het graag weten...

Dat kun je niet. Aantonen dat er een bijectie is tussen IN en Z heeft niets te maken met het nemen van de absolute waarde als zodanig. Het is mogelijk om alle elementen uit Z op te sommen in een rij a₀, a₁, a₂,...
De gebruikelijke manier om dit te doen is de elementen op volgorde van absolute waarde te zetten, van klein naar groot (dus 0, 1, -1, 2, -2, 3...).

[gede]

Het zelfde kan je trouwens doen voor de verzameling Q (de verzameling van alle breuken) en N . De verzameling Q is dus "equipotent" met N .