[WI] afgeleide van logaritme

[[CP]X-Ray Cat]

Heb problemen met de volgende opgave:

-----------------------
21. f(x)= 2logx

Scrijf f(x) als een natuurlijke logaritme en bereken hiermee de afgeleide functie.
-----------------------

f(x) = lnx / ln2 (deze stap volg ik al niet, niet hoe dit uit de rekenregels volgt iig.)

Afgeleide doe ik als volgt:

f(x) = q(x) / p(x) => f'(x) = (q'(x)*p(x)) - (q(x)*p'(x)) / (p(x))^2 (dus ik gebruik hier de quotientregel)

dus:

f'(x) = ((ln2/x) - (0.5lnx)) / (ln2)^2

Het lukt me niet deze korter te schrijven, er zou volgens het antwoordenboek 1/(xln2) uit moeten komen.

Zij hanteren de volgende regel: voor f(x) = glogx => f'(x) = (1/lng) * (1/x)

Echter wordt dit pas uitgelegd ná deze opgave. Ik kan het natuurlijk wel met al die regeltjes gaan doen maar deze wil ik wel eerst snappen.

Iemand puf om me te helpen?

[Supersuri]

snap je wel dat 2logx gelijk is aan log(x) / log (2)? dat zijn namelijk de standaard regels. Maar het maakt niet uit of je de 10 log schrijft of de e-log (ln) als ze maar allebij het zelfde zijn, boven en onder de streep.

de afgeleide voor een ln(x) moet je zelf ff zoeken, staat in een standaard wiskunde formule boek (wisforta ofzoiets dergelijks) Kan die van mij ff niet vinden. ln(2) is een constante dus krijg je ln(x)'/ ln(2).

Je moet zelf ff uitzoeken wat de afgeleide van ln(x) is, d8 1/x, maar weet niet zeker.

[[CP]X-Ray Cat]

Supersuri schreef op 06-03-2005 @ 17:36 :
snap je wel dat 2logx gelijk is aan log(x) / log (2)? dat zijn namelijk de standaard regels. Maar het maakt niet uit of je de 10 log schrijft of de e-log (ln) als ze maar allebij het zelfde zijn, boven en onder de streep.

de afgeleide voor een ln(x) moet je zelf ff zoeken, staat in een standaard wiskunde formule boek (wisforta ofzoiets dergelijks) Kan die van mij ff niet vinden. ln(2) is een constante dus krijg je ln(x)'/ ln(2).

Je moet zelf ff uitzoeken wat de afgeleide van ln(x) is, d8 1/x, maar weet niet zeker.

Mja, daar zat ik al een beetje aan te twijfelen ... of je verhoudingsgewijs log aan ln gelijk kon stellen; bijvoorbeeld:

f(x) = 3logx => logx / log3 => lnx / ln3 ... Mijn probleem is een beetje dat ik ook graag met de quotientregel en productregel hetzelfde antwoord wil krijgen als met de afleidregel voor logaritmen.

f'(x) = ((ln2/x) - (0.5lnx)) / (ln2)^2 is misschien dan wel gelijk aan 1/(xln2) maar ik wil snappen hoe ik dat zo vereenvoudig. Ik kan die opgaven wel maken met die regels, en dan is het ook echt wel goed te doen. Maar het ook daadwerkelijk snappen wil dan nog niet echt.

Wat is een logx bijvoorbeeld? Is naar mijn weten nooit uigelegd. De enigste definitie die ik zo kan bedenken is dat 10^logx = x ... Maar hoe rekent zo'n rekenmachine dat nou uit? Een benadering zoeken? Of is hier een exacte methode voor?

[mathfreak]

Stel ²log(x)=y, dan geldt: 2^y=x. Links en rechts de natuurlijke logaritme nemen geeft: ln(2^y)=ln(x), dus y*ln(2)=ln(x), dus y=²log(x)=ln(x)/ln(2).
Algemeen geldt: ^glog(x)=^plog(x)/^plog(g). Met behulp van deze formule kun je dus een logaritme van het ene grondtal omschrijven naar een logaritme met een ander grondtal. Voor p=e geeft dit de formule ^glog(x)=ln(x)/ln(g).
Voor ln(x) geldt dat de afgeleide gelijk is aan 1/x, dus de afgeleide van ^glog(x)=ln(x)/ln(g) is dan gelijk aan 1/x*1/ln(g)=1(x*ln(g)).

[Saycheese]

De afgeleide van ln(x) is idd 1/x, zoals Supersuri zei.

Maar Supersuri zei ook dat je er rekening mee moet houden dat ln2 een constante is. Dus jouw eerste stap klopt niet.

f(x) = q(x) / p(x) => f'(x) = (q'(x)*p(x)) - (q(x)*p'(x)) / (p(x))^2 geeft dan f'(x)=(1/x)*ln2-lnx*0 (want ln2 is een constante, dus afgeleide=0)/(ln2)^2

Dit is (1/x)*ln2/(ln2)^2-->(ln2/x)/(ln2)^2-->ln2/(x(ln2)^2. Nu kan je boven een onder een ln2 wegstrepen, en dan hou je 1/xln2 over.

[[CP]X-Ray Cat]

Saycheese schreef op 06-03-2005 @ 18:20 :
De afgeleide van ln(x) is idd 1/x, zoals Supersuri zei.

Maar Supersuri zei ook dat je er rekening mee moet houden dat ln2 een constante is. Dus jouw eerste stap klopt niet.

f(x) = q(x) / p(x) => f'(x) = (q'(x)*p(x)) - (q(x)*p'(x)) / (p(x))^2 geeft dan f'(x)=(1/x)*ln2-lnx*0 (want ln2 is een constante, dus afgeleide=0)/(ln2)^2

Dit is (1/x)*ln2/(ln2)^2-->(ln2/x)/(ln2)^2-->ln2/(x(ln2)^2. Nu kan je boven een onder een ln2 wegstrepen, en dan hou je 1/xln2 over.

Omg, verrek ...

Dit maakt alles duidelijk, thnx.

[Saycheese]

Graag gedaan