analystische meetkunde

Hoe los je volgende oef op?

gegeven: A: x+y=7 B: 2x-y-1=0

Bepaal een punt op A waardoor de afstand tot B gelijk is aan vierkantswortel 5

--------------------------------------

geg: A: x+y=7 B: 3x-4y+25=0

Bepaal een punt op A waardoor de afstand tot B gelijk is aan de afstand tot de oorsprong.

[cmoi]

gegeven: A: x+y=7 B: 2x-y-1=0

Bepaal een punt op A waardoor de afstand tot B gelijk is aan vierkantswortel 5

A: x+y = 7 -> y = 7 - x -> rc = -1
B: 2x - y - 1 =0 -> y = 2x - 1

als produkt van de twee rc's -1, dan staan twee lijnen loodrecht op elkaar -> dus een lijn loodrecht op A moet rc = 1 hebben

dus neem een lijn m die loodrecht op A staat:

m: y = x + p


Q is snijpunt van m en A:
7 - x = x + p
7 - p = 2x
x = 3,5 - 0,5p
y = 3,5 + 0,5p
Q(3,5 - 0,5p; 3,5 + 0,5p)

R snijpunt van m en B:
2x - 1 = x + p
x = p + 1
y = 2p + 1
R(p + 1; 2p + 1)

stel mbv pythagoras afstand tussen Q en R gelijk aan wortel 5:

[(p + 1)-(3,5 - 0,5p)]² + [(3,5 + 0,5p) - (2p + 1)]² = [sqrt(5)]²
[1,5p - 2,5]² + [-1,5p + 2,5]² = 5
2,25p² - 7,5p + 6,25 - 2,25p² - 7,5p + 6,25 = 5
-15p + 12,5 = 5
-15p = -7,5
p = 0,5

het gezochte punt is punt Q(3,5 - 0,5p; 3,5 + 0,5p)

dus (3,25; 3,75)

------------------------

de tweede vraag kan op bijna dezelfde manier opgelost worden

volgens mijn boek van analytishce meetkunde moeten de oplossingen (3,0) en (1/3,10/3) zijn.

Bent u nu gemist, of is het een fout in het boek?

[cmoi]

guest schreef:
volgens mijn boek van analytishce meetkunde moeten de oplossingen (3,0) en (1/3,10/3) zijn.

Bent u nu gemist, of is het een fout in het boek?

volgens mij het antwoordenboek, want:

lijn A: x + y = 7

en (3,0) ligt niet op lijn A

[mathfreak]

guest schreef:
Hoe los je volgende oef op?

gegeven: A: x+y=7 B: 2x-y-1=0

Bepaal een punt op A waardoor de afstand tot B gelijk is aan vierkantswortel 5

--------------------------------------

geg: A: x+y=7 B: 3x-4y+25=0

Bepaal een punt op A waardoor de afstand tot B gelijk is aan de afstand tot de oorsprong.

Dit heeft betrekking op de lijnen A: x+y=7 en B: 2x-y-1=0.
Laat P(a,-a+7) een punt op A zijn en laat abs(x) de absolute waarde van x voorstellen, dan wordt de afstand van P tot B gegeven door
abs(2*a-(-a+7)-1)/sqrt(5)=abs(3*a-7)/sqrt(5)=sqrt(5), dus abs(3*a-7)=5, dus 3*a-7=5 of 3*a-7=-5, dus 3*a=5+7=12 of
3*a=-5+7=2, dus a=4 en P=(4,3) of a=2/3 en P=(2/3,6 1/3).

Dit heeft betrekking op de lijnen A:x+y=7 en B: 3x-4y+25=0.
Laat P(a,-a+7) een punt op A zijn, dan wordt de afstand van P tot B gegeven door
abs(3*a-4(-a+7)-25)/5=abs(7*a-53)/5. Dit moet gelijk zijn aan de afstand van P tot O, dus er geldt: abs(7*a-53)/5=sqrt(a^2+a^2-14*a+49)
=sqrt(2*a^2-14*a+49) ofwel abs(7*a-53)=5*sqrt(2*a^2-14*a+49)
=sqrt(50*a^2-350*a+1225). Kwadrateren levert:
49*a^2-742*a+2809=50*a^2-350*a+1225, ofwel a^2+382*a-1584=0. Toepassen van de abc-formule geeft de gevraagde waarden voor a en geeft dus ook de coördinaten van P.
Nog even een opmerking: toen jij me per e-mail deze opgaven stuurde meende ik dat A en B vlakken waren in plaats van lijnen omdat het hier in Nederland gebruikelijk is om namen van lijnen met een kleine letter en namen van vlakken met een hoofdletter aan te duiden. In mijn uitwerking die ik je terug stuurde is er dus per vergissing sprake van het toepassen van de formule voor de afstand van een punt tot een vlak, vandaar mijn verzoek om mijn uitwerking als niet verzonden te beschouwen en een verzoek om voortaan duidelijk aan te geven of het om lijnen of om vlakken gaat, zodat een herhaling van een dergelijk vervelend misverstand kan worden voorkomen.

Ik ben nu totaal niet meer mee.

Zou er iemand dit kunnen uitleggen?

[mathfreak]

guest schreef:
Ik ben nu totaal niet meer mee.

Zou er iemand dit kunnen uitleggen?

Even een toelichting: laat de lijn l: a*x+b*y+c=0 gegeven zijn en laat
P(x1,y1) een gegeven punt zijn waarvan we de afstand tot de lijn willen weten, dan wordt de afstand van dat punt tot de lijn gegeven door
abs(a*x1+b*y1+c)/sqrt(a^2+b^2). Dit is de formule die ik in mijn vorige reply toepaste om de afstand van een punt tot een lijn te kunnen bepalen waarbij abs(x) de absolute waarde van x voorstelt.
Omdat in de door jou gegeven opgaven niet bekend was welke coördinaten het desbetreffende punt moest hebben heb ik voor de x-coördinaat van dat punt een variabele a gekozen en vervolgens met behulp van de vergelijking van de lijn waarop dit punt moest liggen de y-coördinaat ook in deze variabele uitgedrukt. Omdat bekend was welke vergelijking de andere lijn had heb ik de formule voor de afstand van een punt tot een lijn toegepast. Dit leverde in het ene geval een vergelijking op van de vorm abs(a)=abs(b) die de oplossing a=b of a=-b heeft. In het andere geval paste ik ook de formule voor de afstand van een punt tot een lijn toe en stelde ik dit gelijk aan de afstand van het gevraagde punt tot de oorsprong, wat een vergelijking van de vorm abs(a)=sqrt(b) opleverde. Door deze vergelijking te kwadrateren kreeg ik een tweedegraadsvergelijking in de variabele die ik gebruikte om de coördinaten van het gevraagde punt in uit te drukken. Oplossen van deze tweedegraadsvergelijking levert dan de gevraagde waarde(n) voor de variabele en dus ook de coördinaten van het gevraagde punt.
Nog even iets over de absolute waarde: er geldt: (abs(a))^2=a^2, een eigenschap waarvan ik bij het uitwerken van de tweede opgave gebruik heb gemaakt om zo de vergelijking van de vorm abs(a)=sqrt(b) in een vergelijking zonder absolute waarden en vierkantswortels om te kunnen zetten, wat in dit geval dus uiteindelijk een tweedegraadsvergelijking in de variabele opleverde die met de gebruikelijke methode (ontbinden in factoren of abc-formule) kan worden opgelost.

Merci iedereen, vooral mathfreak

Nu maar hopen dat 't maandag lukt.