[WI] Kegelsneden

[Reiko]

Ik heb dinsdag een examen van Wiskunde en het volgende is een oefening die ik niet kon oplossen op een test. Ik zou graag de werkwijze weten om het te kunnen op het examen.

Vraag

In welke punten van de ellips E heeft de raaklijn als rico m? Geef een vergelijking van deze raaklijnen.

E <-> 9x² + 16y² = 144
m = 1

Tip: Noem het raakpunt (Xq, Yq). Druk uit dat de raaklijn in q als rico m heeft en dat q op de ellips ligt.


Alvast enorm bedankt !

[mathfreak]

Reiko schreef op 05-06-2005 @ 17:13 :
Ik heb dinsdag een examen van Wiskunde en het volgende is een oefening die ik niet kon oplossen op een test. Ik zou graag de werkwijze weten om het te kunnen op het examen.

Vraag

In welke punten van de ellips E heeft de raaklijn als rico m? Geef een vergelijking van deze raaklijnen.

E <-> 9x² + 16y² = 144
m = 1

Tip: Noem het raakpunt (Xq, Yq). Druk uit dat de raaklijn in q als rico m heeft en dat q op de ellips ligt.


Alvast enorm bedankt !

Ga uit van de punt-richtingsvergelijking van een lijn, dan vind je dat de gezochte raaklijn in Q(x_Q,y_Q) de vergelijking y-y_Q=m(x-x_Q) moet hebben. Herschrijf de raaklijnvergelijking als y=m*x+n en substitueer dit in de vergelijiking van E. Je krijgt dan een vierkantsvergelijking in x, en aangezien een raaklijn slechts 1 punt met de ellips gemeen kan hebben betekent dit dat de discriminant van de vierkantsvergelijking gelijk moet zijn aan 0. Je vindt dus 1 oplossing x die aan de vierkantsvergelijking voldoet. Invullen van x in de vergelijiking van E geeft de bijbehorende y.

[Keith]

Ik zou de functie gewoon schrijven als y als functie van x en dat afleiden en gelijkstellen aan 1. Omdat je het in twee delen zet (een positieve en een negatieve wortel) krijg je ook twee waarden van x waar geldt dy/dx = 1, deze invullen in de bijbehorende formule geeft je de y coordinaten van de twee punten. Ik zou het hier voor je doen, maar ik maak altijd veel fouten als ik het hier doe.