wiskunde sommetje

78. In nederlad moet men bij het aanleggen van leidingen voor het gastransport rekening houden met verschillende grondstoffen. Zo is de aanleg in veengrond een stuk lastiger dan in zandgrond. Dit komt omdat het graven in veen moeilijker is dan in zand. Bovendien doen zich in veengrond allerlei grondwaterproblemen voor, en zakt het zware materiaal da nodig is bij de aaleg gemakkelijk weg in veengrond. De rode lijn in de figuur hieronder geeft de scheidning aan tussen zandgrond (links) en veengrond (rechts).
Er moet een aardgasleiding worden aangelegt tussen A en B.
In de figuur zijn drie mogelijke trajecten voor deze leiding aageven.
De kosten voor aleg in zandgrond bedragen 2 miljoen gulden per kilometer, in veengrond is dat 3 miljoen gulden per kilometer.



a. Bereken de totale aanlegkosten voor traject I
b. Bereken de totale aanlegkosten voor de trajecten II en III.

We willen de route met minimale aanlegkosten weten. Daartoe nemen we de grens tussen zand- en veengrond het punt P en noemen PE=x ( punt P ligt dus op de rode lijn)
c. Druk de aanlegkosten K uit in x.
d. Bereken de minimale aanlegkosten. Rond af op tonnen

het gaat mij op opgave c en d. a en b heb ik al. Vooral c snap ik niet. Daar moet je volgens mij een formule vinden, en dat moet als grafiek een dalparabool zijn.
bij d moet je dan de ageleide van die formule (bij c) bepalen, en die formule geleikstellen aan 0. Iemand enig idee hoe c moet, en of het klopt, wat ik zei, zoals d dan moet?

[mathfreak]

Als je goed naar de figuur kijkt zie je dat AEBC een parallellogram vormt met AE=BC=3 km en AC=BE=5 km, aangezien BE de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 3 en 4 km is (stelling van Pythagoras). Verder snijden de diagonalen AB en CE elkaar in D middendoor (eigenschap van een parallellogram) en heeft CE een lengte van 4 km. De lengte PE=x zal dus tussen 0 en 4 km liggen. Omdat PE=x bekend is kun je AP en PB uitdrukken in x. Bovendien ken je per grondlaag de kosten per km, dus is K in x uit te drukken.

mathfreak schreef:
Als je goed naar de figuur kijkt zie je dat AEBC een parallellogram vormt met AE=BC=3 km en AC=BE=5 km, aangezien BE de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 3 en 4 km is (stelling van Pythagoras). Verder snijden de diagonalen AB en CE elkaar in D middendoor (eigenschap van een parallellogram) en heeft CE een lengte van 4 km. De lengte PE=x zal dus tussen 0 en 4 km liggen. Omdat PE=x bekend is kun je AP en PB uitdrukken in x. Bovendien ken je per grondlaag de kosten per km, dus is K in x uit te drukken.

ehm, bedankt, maar nu snap ik em nog niet, eigenlijk
PE=x is toch niet bekend?? of wel?, en hoe moet je AP en PB dan uitdrukken in x?

[mathfreak]

vleermuissie schreef:


ehm, bedankt, maar nu snap ik em nog niet, eigenlijk
PE=x is toch niet bekend?? of wel?, en hoe moet je AP en PB dan uitdrukken in x?

Je weet dat PE de lengte x moet hebben waarbij x tussen 0 en 4 km ligt. In driehoek AEP is hoek AEP een rechte hoek. Bovendien zijn AE en PE bekend, dus kun je AP berekenen met de stelling van Pythagoras. In driehoek BCP is hoek BCP een rechte hoek. Bovendien zijn BC en CP bekend, dus kun je PB berekenen met de stelling van Pythagoras. Omdat AP en PB dan bekend zijn, evenals de kosten per km voor iedere grondlaag, is K dus ook bekend. Je zult zien dat K als functie van x de som van 2 wortelfuncties voorstelt. Door K naar x te differentiëren en dit resultaat 0 te stellen kun je de waarde van x vinden waarvoor K minimaal is en vind je dus de gezochte waarde van K.
Bij het oplossen van een probleem gaat het altijd om de volgende vragen:
1) wat is er gegeven?
2) wat wordt er gevraagd?
3) welke eigenschappen en methodieken kan ik gebruiken om uit de gegevens het gevraagde antwoord af te leiden?
4) indien niet direct bekend is welke eigenschappen en methodieken nodig zijn, kan ik het probleem dan herleiden tot een probleem waarvoor de oplossingsmethode wel bekend is?
De laatstgenoemde stap wordt een probleemtransformatie genoemd. Ik paste deze transformatie toe bij mijn uitleg in mijn eerste reply door de gegeven figuur op te vatten als een parallellogram met rechts daarvan een rechthoekige driehoek. Zo was ik in staat om een geschikte methodiek voor het vinden van de oplossing te formuleren.

mathfreak schreef:

Je weet dat PE de lengte x moet hebben waarbij x tussen 0 en 4 km ligt. In driehoek AEP is hoek AEP een rechte hoek. Bovendien zijn AE en PE bekend, dus kun je AP berekenen met de stelling van Pythagoras. In driehoek BCP is hoek BCP een rechte hoek. Bovendien zijn BC en CP bekend, dus kun je PB berekenen met de stelling van Pythagoras. Omdat AP en PB dan bekend zijn, evenals de kosten per km voor iedere grondlaag, is K dus ook bekend. Je zult zien dat K als functie van x de som van 2 wortelfuncties voorstelt. Door K naar x te differentiëren en dit resultaat 0 te stellen kun je de waarde van x vinden waarvoor K minimaal is en vind je dus de gezochte waarde van K.
Bij het oplossen van een probleem gaat het altijd om de volgende vragen:
1) wat is er gegeven?
2) wat wordt er gevraagd?
3) welke eigenschappen en methodieken kan ik gebruiken om uit de gegevens het gevraagde antwoord af te leiden?
4) indien niet direct bekend is welke eigenschappen en methodieken nodig zijn, kan ik het probleem dan herleiden tot een probleem waarvoor de oplossingsmethode wel bekend is?
De laatstgenoemde stap wordt een probleemtransformatie genoemd. Ik paste deze transformatie toe bij mijn uitleg in mijn eerste reply door de gegeven figuur op te vatten als een parallellogram met rechts daarvan een rechthoekige driehoek. Zo was ik in staat om een geschikte methodiek voor het vinden van de oplossing te formuleren.

okee, nu snap ik em
bedankt!