[wi] differentiëren

[pino123]

f(x)= (5xsqrx)/(x+1)=5x^{1 1/2}/(x+1)
lijn k raakt f in A met x_A=4
lijn l raakt f in B met x_B=9
lijn k snijdt x-as in P, lijn l snijdt x-as in Q en de lijnen k en l snijden elkaar in R.
Bereken de exacte waarde van opp. driehoek PQR

raaklijnen opstellen enzow kan ik wel, maar het laatste gedeelte is wat moeilijker. Kan iemand mij helpen?

[Young Grow Old]

De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan 1/2*basis*hoogte. In dit geval liggen de punten P en Q beide op de x-as. Om de lengte van de zijde PQ te berekenen (deze zijde kun je als basis gebruiken), hoef je dus enkel de x-coordinaat van deze twee punten van elkaar af te trekken.
Het punt R ligt niet op de x-as. De hoogte is gelijk aan de kortste afstand van het punt R tot de basis PQ. In dit geval is dit de y-coordinaat van het punt R.

De oppervlakte van de driehoek is positief en is dus gelijk aan 1/2*|x_P-x_Q|*|y_R|

[pino123]

ik moet het ff narekenen, maar volgens mij is heeft de driehoek geen hoe van 90 graden, dus kan y_R niet vermenigvuldigen tog?

[TD]

De formule b*h/2 geldt voor een willekeurige driehoek.
Bij een rechthoekige driehoek kan je idd een zijde gewoonweg als hoogte gebruiken, dat gaat hier niet maar dat doen we ook niet. De hoogte is namelijk precies gelijk aan de y-coördinaat van R.

[pino123]

nog een vraag:

Gegeven functie f(x)=(x³+2)/sqrx
a) Toon aan dat f'(x)= (2 1/2x³+2)/xsqrx
-ik kom alleen tot f'(x)=2 1/2xsqrx- 1/xsqrx

b)De x-coördinaat van de top is te schrijven als 3sqr p(derdemachtswortel van p) Bereken p
-Deze weet ik wel f'(x)=0 geeft p=2/5

c)De y-coördinaatvan de top is te schrijven als a/bsqr c (a delen door b-de machtswortel van c). Bereken a,b, en c
-ik kom tot f(2/5), maar dat kan ik niet echt zoiets van maken

De lijn k met rc_k-1 1/2 raakt de grafiek van f
d) Toon aan dat hieruit volgt 5x³-3xsqrtx-2=0 en los deze vergelijking algebraïsch op
-f'(x)=3/2 geeft 5x³-3xsqrtx-2=0, en daar kom ik uit tot x^{1 1/2}=-2/5 V x^{1 1/2}=1, maar dat klopt niet
d) stel de formule van k op

Kan iemand mij helepen please?

[TD]

Toeval of niet, maar zie wisfaq

[mathfreak]

pino123 schreef op 04-09-2005 @ 14:02 :
nog een vraag:

Gegeven functie f(x)=(x³+2)/sqrx
a) Toon aan dat f'(x)= (2 1/2x³+2)/xsqrx
-ik kom alleen tot f'(x)=2 1/2xsqrx- 1/xsqrx

Er geldt: sqrt(x)=x^1/2, dus f(x)=(x³+2)/sqrt(x)=(x³+2)x^1/2
=x^{2 1/2}+2*x^-1/2, dus f'(x)=2 1/2*x^{1 1/2}-x^{-1 1/2}=x^{-1 1/2}(2 1/2*x³-1).

pino123 schreef op 04-09-2005 @ 14:02 :
c)De y-coördinaatvan de top is te schrijven als a/bsqr c (a delen door b-de machtswortel van c). Bereken a,b, en c
-ik kom tot f(2/5), maar dat kan ik niet echt zoiets van maken

Uit f'(x)=0 volgt: x^{-1 1/2}(2 1/2*x³-1)=0, dus 2 1/2*x³-1=0, dus 2 1/2*x³=1, dus 5*x³=2, dus x³=2/5, dus x=(2/5)^1/3, dus f((2/5)^1/3)=2 2/5/(2/5)^1/6, dus a=2 2/5, b=6 en c=2/5.

pino123 schreef op 04-09-2005 @ 14:02 :
De lijn k met rc_k-1 1/2 raakt de grafiek van f
d) Toon aan dat hieruit volgt 5x³-3xsqrtx-2=0 en los deze vergelijking algebraïsch op
-f'(x)=3/2 geeft 5x³-3xsqrtx-2=0, en daar kom ik uit tot x^{1 1/2}=-2/5 V x^{1 1/2}=1, maar dat klopt niet

Uit Uit f'(x)=-1 1/2 volgt: 2 1/2*x^{1 1/2}-x^{-1 1/2}=-1 1/2. Links en rechts vermenigvuldigen met 2*x^{1 1/2} geeft: 5*x³-2=-3*x^{1 1/2},
dus 5*x³+3*x^{1 1/2}-2=0, dus 5*x³+3*x*sqrt(x)-2=0. Stel x*sqrt(x)=p, dan geldt: 5*p²+3*p-2=0, dus p=(-3-sqrt(49))/2=(-3-7)/2=-10/2=-5 of p=(-3+sqrt(49))/2=(-3+7)/2=4/2=2. Uit p=x*sqrt(x) volgt: p>0, dus p=2 geeft: x*sqrt(x)=2, dus x³=4, dus x=4^1/3.

pino123 schreef op 04-09-2005 @ 14:02 :
d) stel de formule van k op

Voor de vergelijking van k geldt: y=-1 1/2*x+b met x=4^1/3 en y=f(4^1/3)=6/4^1/6, dus 6/4^1/6=-1 1/2*4^1/3+b, dus b=6/4^1/6+1 1/2*4^1/3. De gevraagde vergelijking van k wordt dan y=-1 1/2*x+6/4^1/6+1 1/2*4^1/3.

[pino123]

mathfreak schreef op 04-09-2005 @ 17:01 :
Stel x*sqrt(x)=p, dan geldt: 5*p²+3*p-2=0, dus p=(-3-sqrt(49))/2=(-3-7)/2=-10/2=-5 of p=(-3+sqrt(49))/2=(-3+7)/2=4/2=2. Uit p=x*sqrt(x) volgt: p>0, dus p=2 geeft: x*sqrt(x)=2, dus x³=4, dus x=4^1/3

bedankt!! maar dit gedeelte klopt niet:
het moet zijn: 5x³- 3x^{1 1/2}-2(=0) geeft
p_1,2==(3+/- 7)/10
je deelt door 2a in abc-formule dus door 10

p1= 1 V p2=-4/5
geeft xsqrtx=1 V xsqrtx=-4/5
x=1 - x2: kan niet

volgens mij hoor

[TD]

Het lijkt me dat de vergelijking, na substitutie, een min-teken krijgt in de lineaire term. Oplossingen zijn dan 1 en -2/5, waarvan de laatste geen reële oplossing levert bij het terug substitueren.

[mathfreak]

pino123 schreef op 05-09-2005 @ 17:01 :
bedankt!! maar dit gedeelte klopt niet:
het moet zijn: 5x³- 3x^{1 1/2}-2(=0) geeft
p_1,2=(3+/- 7)/10
je deelt door 2a in abc-formule dus door 10

p1= 1 V p2=-4/5
geeft xsqrtx=1 V xsqrtx=-4/5
x=1 - x2: kan niet

volgens mij hoor

Ik zet even de correctie hier neer. Stel x*sqrt(x)=p, dan geldt: 5*p²+3*p-2=0, dus p=(-3-sqrt(49))/10=(-3-7)/2=-10/10=-1 of p=(-3+sqrt(49))/10=(-3+7)/10=4/10=2/5. Uit p=x*sqrt(x) volgt: p>0, dus p=2/5 geeft: x*sqrt(x)=2/5, dus x³=4/25, dus x=(4/25)^1/3. Als de richtingscoëfficiënt van de raaklijn +1 1/2 was geweest had je inderdaad 5*x³-3*x^{1 1/2}-2=0 gekregen, maar vanwege de waarde -1 1/2 krijg je een term +3*x^{1 1/2}. Reken het zelf maar eens na, dan zul je het zien.
Volledigheidshalve geef ik ook nog maar even de gecorigeerde vergelijking van k. Voor de vergelijking van k geldt: y=-1 1/2*x+b met x=(4/25)^1/3 en y=f((4/25)^1/3)=2 4/25/(4/25)^1/6, dus 2 4/25/(4/25)^1/6=-1 1/2*(4/25)^1/3+b, dus b=2 4/25/(4/25)^1/6+1 1/2*(4/25)^1/3. De gevraagde vergelijking van k wordt dan y=-1 1/2*x+2 4/25/(4/25)^1/6+1 1/2*(4/25)^1/3.

[pino123]

helemaal gelijk, bedankt!

[mathfreak]

pino123 schreef op 06-09-2005 @ 10:13 :
helemaal gelijk, bedankt!

Graag gedaan.