Twee vragen over complexe getallen:

[Upior]

Ik heb twee opgaven waarbij ik hetzelfde probleem ondervindt. De opgaven luiden als volgt:

1. Teken alle z in het complexe vlak waarvoor geldt dat Im((z-2)/z+1)) = 0

2. Teken alle z in het complexe vlak waarvoor geldt dat Arg(z/(z-2)) = 0.

Ik snap wel wat gevraagd wordt, maar ik begrijp niet hoe het antwoord eruit moet komen te zien. Je krijgt bij de eerste dus zoiets als (laat z:=x+yi):

((x-2)+yi)/((x+1)+yi) = 0. En dan? Moet ik een antwoord krijgen van de vorm yi = .... ?

Enige hulp wordt erg op prijs gesteld...

[Keith]

Im((z-2)/z+1)) = 0 betekent toch dat (z-2)/z+1=c, waar c reeel is?

Als we zeggen z=a+bi dan volgt:
(z-2)/z+1=(a-2+bi)/(a+bi)+1=(a-2+bi)(a-bi)/[(a+bi)(a-bi)]+1
(z-2)/z+1=(a²-2a+abi-abi+2bi+b²)/(a²+abi-abi+b²)+1
(z-2)/z+1=(a²-2a+2bi+b²)/(a²+b²)+1=c
(a²-2a+2bi+b²)=(c-1)(a²+b²)
Omdat het rechterdeel nu reeel is weet je dat het linkerdeel dat ook moet zijn.

Ik zie nu pas dat wat je hebt opgeschreven helemaal niet kan. Haakjes kloppen niet.

Dna probeer i kde tweede maar:

Arg(z/(z-2)) = 0
Als we z/z(z-2) omschrijven tot j+ki betekent dit dat sqrt(j²+k²)=0
Dus:
z/(z-2)=(a+bi)/(a-2+bi)
=(a+bi)(a-2-bi)/(a-2+bi)(a-2-bi)
=(a²-2a-abi+abi-2bi+b²)/(a²-4a+4+b²)
=(a²-2a-2bi+b²)/(a²-4a+4+b²)
=(a²-2a+b²)-2bi/(a²-4a+4+b²)
=(a²-2a+b²)/(a²-4a+4+b²)+[-2b/(a²-4a+4+b²)]i
dus:
j=(a²-2a+b²)/(a²-4a+4+b²)
en
k=-2b/(a²-4a+4+b² )
en even voor het gemak: m=(a²-4a+4+b² )

dan:
sqrt(j²+k²)=sqrt(((a²-2a+b²)/m)² + (-2bi/m)² )
=sqrt((a²-2a+b²)²/m² + (-2bi)²/m² )
de 1/m² kan buiten de wortel gehaald worden:
=1/m*sqrt((a²-2a+b²)² + (-2bi)² )
Het komt er nu dus op neer dat:
(a²-2a+b²)² + (-2bi)²=0
a⁴-4a³+2a²b²-4ab²+b⁴-4b²=0

[mathfreak]

Upior schreef op 22-10-2005 @ 15:16 :
1. Teken alle z in het complexe vlak waarvoor geldt dat Im((z-2)/z+1)) = 0

Stel z=x+i*y, dan geldt: z-2=x-2+i*y en z+1=x+1+i*y, dus (z-2)/(z+1)=(x-2+i*y)/(x+1+i*y)
=(x-2+i*y)(x+1-i*y)/[(x+1+i*y)(x+1-i*y)]
=(x²-x-2+y²+3*i*y)/((x+1)²+y²). Omdat de noemer reëel is hoef je alleen nog maar het imaginaire deel van de teller nul te stellen. Dit geeft: y=0, dus z=x en x ongelijk aan -1.

Upior schreef op 22-10-2005 @ 15:16 :
2. Teken alle z in het complexe vlak waarvoor geldt dat Arg(z/(z-2)) = 0.

Er geldt: arg(z/(z-2))=arg(z)-arg(z-2)=0, dus arg(z)=arg(z+2), dus arctan(y/x)=arctan(y/(x-2)), dus y/x=y/(x-2)+k*2*pi, dus y/x=y/(x-2)+k*2*pi(x-2)/(x-2), dus y/x=(y+k*2*pi(x-2))/(x-2), dus y(x-2)=x*y+x*k*2*pi(x-2), dus -2*y=x*k*2*pi(x-2), dus y=-k*pi*x(x-2). Voor k=0, x=0 of x=2 geeft dit: y=0.

@Keith: Je haalt de begrippen modulus (absolute waarde) en argument van een complex getal door elkaar. Voor z=x+i*y is |z|=sqrt(x²+y²) de modulus en arctan(y/x) het argument van z.

[Keith]

Inderdaad.

Denk dat jouw aanname bij de eerste vraag ook wel logisch is trouwens, want dat van mij loopt niet echt op iets leuks uit.

[Upior]

Zou je die laatste stap bij de eerste vraag even kunnen toelichten? Hij is vast heel simpel maar ik zie hem even niet.. ("Dit geeft: y=0, dus z=x en x ongelijk aan -1.")

[Keith]

mathfreak schreef op 22-10-2005 @ 18:32 :
Stel z=x+i*y, dan geldt: z-2=x-2+i*y en z+1=x+1+i*y, dus (z-2)/(z+1)=(x-2+i*y)/(x+1+i*y)
=(x-2+i*y)(x+1-i*y)/[(x+1+i*y)(x+1-i*y)]
=(x²-x-2+y²+3*i*y)/((x+1)²+y²). Omdat de noemer reëel is hoef je alleen nog maar het imaginaire deel van de teller nul te stellen. Dit geeft: y=0, dus z=x en x ongelijk aan -1.

(x²-x-2+y²+3*i*y)/((x+1)²+y²)
tot hier begrijp je het toch?

Je bent opzoek naar een geval waar Arg(z/(z-2))=0, dus in feite waar z/(z-2) reëel is. Omdat de noemer reeeel is doet deze er (eventjes) niet toe. Je moet dus alleen zorgen dat de teller, (x²-x-2+y²+3*i*y), reëel is. Dit is, vrij duidelijk, het geval als y=0.

Maar omdat je de noemer net even beschouwing hebt gelaten moet je nu weer even kijken of de noemer niet toevallig probleempjes kan leveren.

(x²-x-2+y²+3*i*y)/((x+1)²+y²)=(x²-x-2)/((x+1)²)

Je deelt dus door (x+1)², dat is heel leuk, maar niet als x=-1, want dan deel je door 0 en dat mag niet. Dus je moet zeggen dat Ar(z/(z-2))=0 alleen als y = 0 EN x != -1.

Maar dit brengt, vind ik, wel een interessant iets aan het licht. Als c reeel is, en je hebt arg(c/0) kan je dan niet ook zeggen dat het 0 is, ondanks het feit dat c/0 onbepaald is?

[Supersuri]

Ik denk dat dit makkelijker kan.

Als je 2 complexe getallen deelt door elkaar trek je de argumenten van elkaar af. Dus in feite:

arg(z/(z-2))= arg(z)-arg(z-2)=0 => arg(z)=arg(z-2)

z=a+bi dus z-2 = a-2+bi

=> tan(a/b)= tan(a-2)/b))

Ik heb dus het idee dat dit nooit voorkomt. Wat doe ik fout? of klopt dit zo?

[mathfreak]

Supersuri schreef op 25-10-2005 @ 16:33 :
Ik denk dat dit makkelijker kan.

Als je 2 complexe getallen deelt door elkaar trek je de argumenten van elkaar af. Dus in feite:

arg(z/(z-2))= arg(z)-arg(z-2)=0 => arg(z)=arg(z-2)

z=a+bi dus z-2 = a-2+bi

=> tan(a/b)= tan(a-2)/b))

Ik heb dus het idee dat dit nooit voorkomt. Wat doe ik fout? of klopt dit zo?

Nee, dit klopt niet. Als z=a+b*i een gegeven complex getal is, dan geldt: arg(z)=arctan(b/a).

@Keith: Je haalt wederom een aantal dingen door elkaar. In de eerste opgave ging het om de vraag voor welke z (z-2)/(z+1) reëel is, of, wat op hetzelfde neerkomt, voor welke z het imaginaire gedeelte van (z-2)/(z+1) de waarde 0 heeft. Upior wou weten waarom x dan niet -1 kan zijn. De vraag voor welke z arg(z/(z-2))=0 heeft betrekking op de tweede, dus de andere, opgave.

[Keith]

lol ik doe ook alles fout he. *buigt hoofd in schaamte*

[sdekivit]

ahhhhhhhhhhh heb medelijden met je keith

sdekivit schreef op 25-10-2005 @ 20:22 :
ahhhhhhhhhhh heb medelijden met je keith

We spelen hardball hier op ExV. Wie al de mist ingaat bij simpele vergelijkingen met imaginaire getallen, komt nooit levend uit het slagveld :>

[Keith]

Alsof ik jullie zoveel mensen heb zien helpen recentelijk .

Ik maak alleen maar kleine foutjes om te kijken of de TS en hulpvrager wel oplet, Mathfreak begrijpt dit alleen niet door zijn tekort aan pedagogisch inzicht en jullie zijn gewoon vindictieve lui die azen op het mislukken van een ander terwijl hun eigen incopetentie alleen te verschuilen valt door krampachtig stilzwijgen.

Wanna dance?

[Supersuri]

Keith schreef op 25-10-2005 @ 22:34 :
Alsof ik jullie zoveel mensen heb zien helpen recentelijk .

Ik maak alleen maar kleine foutjes om te kijken of de TS en hulpvrager wel oplet, Mathfreak begrijpt dit alleen niet door zijn tekort aan pedagogisch inzicht en jullie zijn gewoon vindictieve lui die azen op het mislukken van een ander terwijl hun eigen incopetentie alleen te verschuilen valt door krampachtig stilzwijgen.

Wanna dance?

He ik heb gereageerd, maar dat idee werd de grond in geboord door mathfreak, omdat ik tan(a/b) ipv tan(b/a) had.

Maar de overstaande is toch a?? Het reële deel en het aanliggende toch bi , het imaginaire deel?.

Maar klopt mijn idee verder wel?

Of ben ik al outbowled (om ipv van slachtbal maar in crickettermen te spreken )

[mathfreak]

Supersuri schreef op 26-10-2005 @ 01:48 :
Maar de overstaande is toch a?? Het reële deel en het aanliggende toch bi , het imaginaire deel?.

Maar klopt mijn idee verder wel?

Nee, want jij stelt dat arg(z)=tan(fi), maar er geldt juist: arg(z)=arctan(tan(fi))=fi. Het argument van een complex getal stelt de fasehoek voor, en niet de tangens van de fasehoek. Voor een complex getal z=a+b*i geldt: tan(fi)=b/a. Voor het argument geldt echter: arg(z)=arctan(b/a)=fi.