[WI] Taylorreeksen.

[Rob]

Ik zit met de volgende opgave:

Find the Taylor series for f(x) centered at the given value of a. [Assume that f has a power series expansion. Do not show that R_n(x) -> 0.]

Nou snap ik dat laatste stukje al niet, maar toch.

Ik zit met deze opgaven:

f(x) = 1 + x + x², a=2
en
f(x) = x^-2, a=1

Ik snap dus niet echt wat hier de bedoeling van is en wat er nou van mij gevraagd word.

[TD]

Weet je wat Taylorreeksen zijn?

Met die eerste zal je overigens niet veel werk hebben (snap je waarom?). Is er ook gegeven tot op welke orde het moet?

In dat laatste stuk zeggen ze dat je niet hoeft na te gaan of de restterm uiteindelijk naar 0 gaat.

[Rob]

Weet je wat Taylorreeksen zijn?

Een Taylorreeks is toch dit:

f(a) + (f'(a)/1!)*(x-a) + (f''(a)/2!)*(x-a)² + (f'''(a)/3!)*(x-a)³ + ...

?

Met die eerste zal je overigens niet veel werk hebben (snap je waarom?). Is er ook gegeven tot op welke orde het moet?

Dubbel nee. Ik snap sowieso niet wat er gevraagd wordt, dus waarom ik er weinig werk aan heb, is een tweede..
En de orde is niet gegeven. Anders had het iets makkelijker geweest, denk ik. Dan weet ik tenminste tot hoever ik door moet gaan met afgeleiden berekenen.
Heb ik 't goed als ik zeg dat de eerste niet verder gaat dan f''? (dus de tweede orde?)

In dat laatste stuk zeggen ze dat je niet hoeft na te gaan of de restterm uiteindelijk naar 0 gaat.

Domo arigato.

[TD]

Rob schreef op 30-11-2005 @ 19:00 :
Een Taylorreeks is toch dit:

f(a) + (f'(a)/1!)*(x-a) + (f''(a)/2!)*(x-a)² + (f'''(a)/3!)*(x-a)³ + ...

Inderdaad, probeer eens gewoon toe te passen?

[Rob]

TD schreef op 30-11-2005 @ 19:12 :
Inderdaad, probeer eens gewoon toe te passen?

Okay.

Voor die eerste krijg ik dus dit:

f = 1 + x + x² voor a=2
f'= 2x + 1
f'' = 2
f''' en verder = 0

f(2) + (f'(2)/1!)*(x-2) + (f''(2)/2!)*(x-2)² =
7 + 5/1!*(x-2) + 2/2!*(x-2)² =
7 + 5(x-2) + (x-2)²


Het boek zegt dat dat goed is, maar wat heb ik nu gedaan, dan?
En die a is zeker alleen nodig in de Taylorreeks, zelf?

Trouwens, bij die tweede kan ik oneindig doorgaan met hogere afgeleiden.

f(x) = x^-2 voor a=1
f'(x) = -2x^-3
f''(x) = 6x^-4
f'''(x) = -24x^-5

etc.

Als ik alles invul in die Taylorreeks, krijg ik dit:

1 - 2(x-1) + 3(x-1)² - 4(x-2)³ + ... - ...
etc. Daar komt dus ook geen einde aan.

Aangezien ie niet eindigt, moet ik dat bovenste dan gebruiken om er een soort van algemene vorm van te maken (eentje met n, dus)?

[TD]

Die eerste is goed, maar valt je niets op?

7 + 5(x-2) + (x-2)² = x² + x + 1

De Taylorreeks van een veelterm is dus gewoon de veelterm zelf


Die tweede kan inderdaad een oneindig lange Taylor-reeks worden, vandaar dat ik vroeg of er geen orde gegeven was.
Een algemene (dus oneindige) som opstellen kan ook

[Rob]

TD schreef op 01-12-2005 @ 07:22 :
Die eerste is goed, maar valt je niets op?

7 + 5(x-2) + (x-2)² = x² + x + 1

De Taylorreeks van een veelterm is dus gewoon de veelterm zelf


Die tweede kan inderdaad een oneindig lange Taylor-reeks worden, vandaar dat ik vroeg of er geen orde gegeven was.
Een algemene (dus oneindige) som opstellen kan ook

Nu je 't zegt, zie ik het ja. Maar wat heb ik nu bereikt, dan? Want dat snap ik niet.
Kijk, ik kan 't wel goed doen, maar ik wel graag weten wát ik (goed) doe.

Hm, dus ik moet uit mijn resultaat de oneindige soms afleiden en da's dan mijn antwoord?

[TD]

Voor die tweede zou je dat kunnen doen. Of dat het antwoord is weet ik niet, zo duidelijk vind ik de vraag niet, al lijkt het daar wel op.
Wat die eerste betreft: misschien was het daar de bedoeling om proefondervindelijk vast te stellen dat polynomen ook hun eigenlijk Taylorreeks zijn.

Om maar even wat toe te lichten over het nut van Taylorreeksen: een polynoom wordt over het algemeen als 'makkelijker' ervaren dan andere elementaire functies (sin, cos, exp, etc.). Daarom worden voor sommige toepassingen Taylorreeksen toegepast, zodat de berekening makkelijker wordt. In veel gevallen is er ook zonder een Taylorreeksexpansie helemaal geen exact antwoord te verkrijgen. Dat kom je o.a. tegen bij de linearisatie van sommige differentiaalvergelijkingen. Ook zijn Taylorreeksen soms nuttig voor het bepalen van limieten. In de fysica worden benaderingen m.b.v. Taylorreeksen vaak gebruikt om kwalitatieve verschijnselen te verklaren.

[Rob]

TD schreef op 01-12-2005 @ 20:32 :
Voor die tweede zou je dat kunnen doen. Of dat het antwoord is weet ik niet, zo duidelijk vind ik de vraag niet, al lijkt het daar wel op.
Wat die eerste betreft: misschien was het daar de bedoeling om proefondervindelijk vast te stellen dat polynomen ook hun eigenlijk Taylorreeks zijn.

Mephostophilis schreef
Om maar even wat toe te lichten over het nut van Taylorreeksen: een polynoom wordt over het algemeen als 'makkelijker' ervaren dan andere elementaire functies (sin, cos, exp, etc.). Daarom worden voor sommige toepassingen Taylorreeksen toegepast, zodat de berekening makkelijker wordt. In veel gevallen is er ook zonder een Taylorreeksexpansie helemaal geen exact antwoord te verkrijgen. Dat kom je o.a. tegen bij de linearisatie van sommige differentiaalvergelijkingen. Ook zijn Taylorreeksen soms nuttig voor het bepalen van limieten. In de fysica worden benaderingen m.b.v. Taylorreeksen vaak gebruikt om kwalitatieve verschijnselen te verklaren.

Wat dus mijn volgende vraagt creeert:
Waar is een Taylorreeks rond het punt a goed voor? Is 't een nauwkeurigere benadering voor een bepaalde x van de polynoom waar je de Taylorreeks van uitrekent?
Ik bedoel...

Er geldt:
Tn(x) is de enige n-de graads polynoom met de eigenschap dat de 0e t/m ne afgeleiden in x=a gelijk zijn aan die van f.

Waarom zou je dan die n-de taylorpolynoom uitrekenen als dat toch gelijk is aan f?

Ik mis waarschijnlijk het punt omdat we de voorgaande paragrafen overgeslagen hebben.

Rob schreef op 02-12-2005 @ 02:03 :
Wat dus mijn volgende vraagt creeert:
Waar is een Taylorreeks rond het punt a goed voor? Is 't een nauwkeurigere benadering voor een bepaalde x van de polynoom waar je de Taylorreeks van uitrekent?
Ik bedoel...

Je kunt een Taylorreeks gebruiken om waarden van de oorspronkelijke functie te benaderen. Kijk bijvoorbeeld naar de tweede-orde benadering van de functie f(x)=cos(x) rond x=0:
Taylor: g(x) = 1-(1/2)x²

Vul je in x=0,1, dan vind je: f(0,1)=0,9950042...

g(0,1)=0,995

Zoals je ziet is de functie g(x) een goede benadering van f(x) rond x=0.

[Nocturnal]

Het voordeel van Taylor-reeks is dat als je bijvoorbeeld sin(x) hebt rond 0, en je beschrijft de Taylor-reeks rond dat punt, dan heb je alle functiewaarden die de sin(x) ook zou hebben, alleen dan in termen van polynomen. En die zijn nou eenmaal een stuk mooier en makkelijker om mee te werken.