[Wi] Stomp- of scherphoekige driehoek

[duivelaartje]

Ik vroeg mij af of het mogelijk is om met de stelling van pythagoras uit te zoeken of een driehoek een stompe, rechte of scherpe hoek heeft.

Zo ja, hoe doe je dat dan?

Alvast bedankt.

[langspeelplaat]

een driehoek heeft alleen maar scherpe hoeken lijkt mij...

Althans als er de stelling van pythagoras op van toepassing is (een rechte hoek)... En als je nou allemaal tussenlijnen gaat tekenen kan t misschien wel, maar is dat nuttig

[duivelaartje]

Een driehoek kan weldegelijk een stompe hoek hebben:



(hm, sommige lijnen zijn scheef, maar het gaat om het idee )

[mathfreak]

duivelaartje schreef op 21-12-2005 @ 17:13 :
Ik vroeg mij af of het mogelijk is om met de stelling van pythagoras uit te zoeken of een driehoek een stompe, rechte of scherpe hoek heeft.

Zo ja, hoe doe je dat dan?

Alvast bedankt.

Als driehoek ABC een gegeven driehoek is met AB=c, BC=a en AC=b, en als hoek B de grootste hoek is, dan geldt volgens de cosinusregel: b²=a²+c²-2*a*c*cos(hoek B).
Voor een scherpe hoek B geldt: cos(hoek B)>0, dus -2*a*c*cos(hoek B)<0, dus b²-(a²+c²)<0, dus b²<a²+c². Omdat in een driehoek de grootste zijde altijd tegenover de grootste hoek ligt volgt daaruit dat het kwadraat van de grootste zijde in een scherphoekige driehoek altijd kleiner is dan de som van de kwadraten van de overige zijden.
Voor een stompe hoek B geldt: cos(hoek B)<0, dus -2*a*c*cos(hoek B)>0, dus b²-(a²+c²)>0, dus b²>a²+c². Omdat een stompe hoek altijd de grootste hoek in een stomphoekige driehoek is, is de zijde tegenover die hoek dus ook de grootste zijde. Daaruit volgt dat het kwadraat van de grootste zijde in een stomphoekige driehoek altijd groter is dan de som van de kwadraten van de overige zijden.

[duivelaartje]

O ja, zo werkte het ja. Had ik zelf ook wel kunnen uitvinden.

Maar bedankt!

[mathfreak]

duivelaartje schreef op 21-12-2005 @ 19:15 :
O ja, zo werkte het ja. Had ik zelf ook wel kunnen uitvinden.

Maar bedankt!

Graag gedaan.