Waarom is de limiet van lim x->oneindig f(x)=x*sin(2/x) Waarom is de 2?

[Rhinus]

[edit]Waarom is de limiet van lim x->ONEINDIG f(x)=x*sin(2/x) Waarom is de 2?[/edit]


Ik snap 't niet. Hoe bereken je dat?

[Rhinus]

mathfreak, als je nog tijd & zin over hebt mag je me ook vertellen hoe je de limiet uitrekend van:
x-> 0
f(x)=3sin(x) / sin(3*x)

Sinussen, waneer zal ik ze begrijpen?

[Tampert]

ff je titeltje aangepast :)

lim _x->oneindig f(x)=x*sin(2/x)

x * sin(2/x)

x -> oneindig
sin(2/x) -> sin(0) = 0

oneindig * 0 mag nie...

je kunt er dus met onafhankelijke limieten niets over zeggen...

We zullen dus aan het rekenen moeten...

We kunnen de volgende truuc toepassen:

Sin(2/x) gaat naar 0 (noem deze f(x))
1/x -> 0 (noem deze g(x))

Nu schrijven we onze limiet als:

sin(2x)/(1/x), we mogen dan de regel van lHôpital gebruiken. Deze zegt ons:
lim_x->oneindig f(x)/g(x) = lim_x->oneindigf'(x)/g'(x) wanneer f en g een limiet in 0 of oneindig hebben, en wanneer nog aan een aantal eisen is voldaan die gelden voor een nette functie (en dit is een nette functie)

f'(x)=-2/(x²)
g'(x)=1/x²
Als je f'(x) deelt door g'(x) geeft dat:

lim _x->oneindig -(1/x²cos(2/x))/(-1/x²

Deze deling kunnen we weer omzetten in een vermenigvuldiging en geeft ons:

lim _x->oneindig -x²*(-1/x²)cos(2/x)
=lim _x->oneindig -(-2)cos(2/x)=lim _x->oneindig 2cos(2/x)

nu gaat 2/x naar 0 dus lim _x->oneindig 2cos(2/x) = 2cos(0), cos(0) = 1 dus

lim _x->oneindig 2cos(2/x) = 2*1 = 2...

lim _x->oneindig f(x)=x*sin(2/x) = 2

[Tampert]

Rhinus schreef:
mathfreak, als je nog tijd & zin over hebt mag je me ook vertellen hoe je de limiet uitrekend van:
x-> 0
f(x)=3sin(x) / sin(3*x)

Sinussen, waneer zal ik ze begrijpen?

Ik denk dat deze limiet 1 is... Ik zal je een hint geven:
gebruik l'Hôpital. Nog even, deze regel zegt:

neem een functie f(x) en een functie g(x)
als geldt:
1. f en g zijn differentiëerbaar
2. er geldt: [*] lim_x->af(x)=0 én lim_x->ag(x)=0 waarbij a een willekeurige waarde is.

óf
[*] lim_x->af(x)=oneindig én lim_x->ag(x)=oneindig waarbij a een willekeurige waarde is.

3. lim_x->a f'(x)/g'(x) bestaat

dán mag je zeggen:

lim_x->af(x)/g(x) = lim_x->af'(x)/g'(x)

(f'(x) is de afgeleide van f(x) en g'(x) is de afgeleide van g(x)

[Rhinus]

2 keer .
Ik snap d'r echt geen hol van..

Wat is: "l'Hôpital" trouwens? [edit] Dat staat er tussen (toch?), maar dat ik 't nu snap.. [/edit]

Ik zal 't nog eens een paar keer gaan lezen. Bedank trouwens .

[Tampert]

Rhinus schreef:
2 keer .
Ik snap d'r echt geen hol van..

Wat is: "l'Hôpital" trouwens? [edit] Dat staat er tussen (toch?), maar dat ik 't nu snap.. [/edit]

Ik zal 't nog eens een paar keer gaan lezen. Bedank trouwens .

l'Hôpital is een regeltje voor limieten... staat hierboven wat dat regeltje inhoudt

[Rhinus]

Tampert schreef:
l'Hôpital is een regeltje voor limieten...

Die hebben wij op school noot geleerd..

Dacht ik..

[cmoi]

Tampert schreef:


l'Hôpital is een regeltje voor limieten... staat hierboven wat dat regeltje inhoudt

op VWO kreeg ook zulke sommetjes, maar die regel van l"Hopital (die ik hier wel vaker voorbij zie komen) had ik nog nooit van gehoord

dus dan dezelfde som op een andere manier:

met behulp van de standaardlimiet: lim _{x -> 0} sin(x) / x = 1

stel x = 1 / t <=> t = 1 / x

lim _{x -> oneindig} x · sin(2/x) =

lim _{t -> 0} (1/t) · sin(2t) =

lim _{t -> 0} (1/t) · 2 · sin(t) · cos(t) =

lim _{t -> 0} 2 · cos(t) · [ sin(t) / t ] = 2 · 1 · 1 = 2

[Rhinus]

cmoi schreef:
met behulp van de standaardlimiet: lim _{x -> oneindig} sin(x) / x = 1

Ja, zo moeten wij het doen .

Maar dat snap ik ook niet echt .

[cmoi]

Rhinus schreef:


Ja, zo moeten wij het doen .

Maar dat snap ik ook niet echt .

'k was nog niet klaar 'k moest alleen even kijken of ik subscript en superscript weer eens niet door war haalde

[Rhinus]

cmoi schreef:
stel x = 1 / t <=> t = 1 / x

lim _{x -> oneindig} x · sin(2/x) =

lim _{t -> 0} (1/t) · sin(2t) =

lim _{t -> 0} (1/t) · 2 · sin(t) · cos(t) =

lim _{t -> 0} 2 · cos(t) · [ sin(t) / t ] = 2 · 1 · 1 = 2

Ik snap 'm . Dank U. (Je mag ook best die andere nog even
doen hoor ). Maar omdat ik die goneo-rekenregels niet goed
beheert (staan die ergens bij elkaar op I-net?) vind ik 't
makkelijker om iin de plaats x = 1/t te gaan voor x = 2/t en dan 't
net iets anders doen. Maar toch hardstikke bedankt.

Misschien ga ik mijn hertentames wel halen .

[cmoi]

... en de andere

lim _{x -> 0} 3 · sin(x) / sin(3x) =

// vermeningvuldigen met x/x

lim _{x -> 0} 3 · [sin(x) / x] · [x / sin(3x)] =

3 · [lim _{x -> 0} sin(x) / x] · [lim _{x -> 0} x / sin(3x)] =

3 · 1 · lim _{x -> 0} x / sin(3x) =

// stel t = 3x <=> x = 1/3 · t

3 · lim _{t -> 0} (1/3 · t) / sin(t) =

3 · lim _{t -> 0} t / (3 · sin(t) ) =

3 · lim _{t -> 0} 1 / (3 · [sin(t) / t] ) =

3 · ( 1 / ( 3 · 1) ) = 3 · 1/3 = 1

[Rhinus]

Dank U cmoi . Nu snap ik ze allebei.

Tampert, jij ook bedankt. Alleen jammer dat ik d'r niks van begreep .

Ik dank dat ik altijd mijn tentames ga leren voor de PC met 't scholieren Forum paraat .

[damaetas]

Rhinus schreef:

Sinussen, waneer zal ik ze begrijpen?

SLECHTE MOP =>


(ze komt eraan: )



ff snutten en dat is zo opgelost, toch?

[Tampert]

ik heb nooit echt limieten gehad op de middelbare school, dus ik ging ervanuit dat mensen l'hôpital wel gehad zouden hebben

substitutie is moooooooooooi!!!!

Rhinus schreef:
mathfreak, als je nog tijd & zin over hebt mag je me ook vertellen hoe je de limiet uitrekend van:
x-> 0
f(x)=3sin(x) / sin(3*x)

Sinussen, waneer zal ik ze begrijpen?

wanneer je de sinus neemt van een hoek vermenigvuldigd met een constant getal .. dan mag je dat getalletje mooi voor het sinusje gaan plaatsen

f(x) = 3sin(x) / sin (3*x)
f(x)= 3sin(x) / 3sin(x)
f(x) = 1

-vind ik toch nog altijd het simpelst-

[pol]

Kitten schreef:


wanneer je de sinus neemt van een hoek vermenigvuldigd met een constant getal .. dan mag je dat getalletje mooi voor het sinusje gaan plaatsen

f(x) = 3sin(x) / sin (3*x)
f(x)= 3sin(x) / 3sin(x)
f(x) = 1

-vind ik toch nog altijd het simpelst-

Ik hoop dat je dit als grap bedoelt, want dit mag helemaal niet!!!!

sin(3*x) = 3*sin(x) - 4*(sin(x))^3

pol schreef:


Ik hoop dat je dit als grap bedoelt, want dit mag helemaal niet!!!!

sin(3*x) = 3*sin(x) - 4*(sin(x))^3

Ik weet ook dat dat niet mag!!!!

Maar voor limieten gaande naar 0 en in combinatie met 2x dezelfde getallen (in dit geval de 3) .. had ons profje ons dat *trucje* geleerd
(aangezien het in zo'n geval na gebruik van l'Hôpital toch op 1 uitkomt)

[cmoi]

Kitten schreef:


Ik weet ook dat dat niet mag!!!!

Maar voor limieten gaande naar 0 en in combinatie met 2x dezelfde getallen (in dit geval de 3) .. had ons profje ons dat *trucje* geleerd
(aangezien het in zo'n geval na gebruik van l'Hôpital toch op 1 uitkomt)

jah maar als je dat "trucje" op je examen gebruikt, levert het weinig punten op iig

[Tampert]

cmoi schreef:


jah maar als je dat "trucje" op je examen gebruikt, levert het weinig punten op iig

ik kan me heel goed voorstellen dat je wegkomt met:
"dichtbij 0 gaat y=sin(x) steeds meer lijken op y=xsin(3x) gaat dan lijken op 3x en die lijkt weer op 3 sin(x)."

okee hij blijft semi-krom, maar ik kan me er heel goed wat bij voorstellen

[waaromniet?]

Tampert schreef:
ik heb nooit echt limieten gehad op de middelbare school, dus ik ging ervanuit dat mensen l'hôpital wel gehad zouden hebben

substitutie is moooooooooooi!!!!

Me heeft l'hopital iig wel gehad, in V5 volgens mij al