wiskunde: machtverheffen met i

[welle]

Is het zo dat -i (-√-1) ^ 2 dit is: -√-1 * -√-1 = (√-1) ^2 = -1
En is -i ^3 dan: -√-1 * -√-1 * -√-1 = - -1 * √-1 = i
En is -i ^4: 1?

Bedankt voor de hulp!

[Young Grow Old]

Het is een beetje onduidelijk wat de vraag is, omdat je nergens haakjes plaatst, hierdoor wordt de uitkomst heel anders.
(-i)²=(-1)²*(i)²=1*-1=-1
-(i)²=-(-1)=1.

Bij hogere machten kun je gebruiken wat je al weet:
(-i)³=(-i)*(-i)²=(-i)*(-1)=i.
-(i)³=(i)*-(i)²=i.

[welle]

Dat was inderdaad niet helemaal duidelijk, maar het was de bedoeling dat de haakjes zo waren: (-i)^3. Maar ik kom er nu wel uit

Ik heb nog een andere vraag, namelijk of iemand weet hoe je kunt bewijzen dat cos y=(e^(iy) + e^(-iy)) / 2
Je moet gebruikmaken (denk ik) van e^(iy)=cos y + i sin y
Wie kan me een duwtje in de goede richting geven? Want ik heb wel een paar dingen geprobeerd, maar het lukt niet

Zou je een formule kunnen verzinnen voor e^(ia) ?
Vul dan vervolgens eens in: a = -y.

Kun je daar iets mee?

[Safe]

welle schreef op 14-11-2006 @ 16:16 :
Dat was inderdaad niet helemaal duidelijk, maar het was de bedoeling dat de haakjes zo waren: (-i)^3. Maar ik kom er nu wel uit :)

Ik heb nog een andere vraag, namelijk of iemand weet hoe je kunt bewijzen dat cos y=(e^(iy) + e^(-iy)) / 2
Je moet gebruikmaken (denk ik) van e^(iy)=cos y + i sin y
Wie kan me een duwtje in de goede richting geven? Want ik heb wel een paar dingen geprobeerd, maar het lukt niet :(

Als je deze formule geleerd hebt, dan zal je die kunnen gebruiken.
Wat is e^(-iy)?, die heb je ook nodig en dan kan je cos(y) (uit die beide) 'vrijmaken.

Verder heb ik bezwaar tegen het gebruik van √(-1), domweg omdat de (vierkants)wortel uit een neg getal niet gedefinieerd is.
Je moet gewoon gebruik maken van i²=-1 (dat is je definitie) en verder is i een imaginair getal. Dus (bv) i³=i²*i=-1*i=-i, en die twee tussenstappen mag je desnoods alleen maar denken.

Succes

welle schreef op 14-11-2006 @ 16:16 :
cos y=(e^(iy) + e^(-iy)) / 2
Je moet gebruikmaken (denk ik) van e^(iy)=cos y + i sin y

Je weet: e^iy = cos y + i sin y
Hieruit volgt: e^-iy = cos (-y) + i sin(-y) = cos y - i sin y

Optellen van bovenstaande vergelijkingen geeft 2 cos y = e^iy + e^-iy

[mathfreak]

Als k een geheel getal is, dan geldt: i^4*k=(i⁴)^k=((-1)²)^k=1^k=1, waarbij je gebruik maakt van de definitie i²=-1. Hieruit volgt dan: i^4*k+1=i^4*k*i=1*i=i, i^4*k+2=i^4*k*i²=1*i²=i²=-1 en i^4*k+3=i^4*k*i³=1*i³=i³=i²*i=-1*i=-i.
Uit e^i*y=cos(y)+i*sin(y) volgt: e^-i*y=cos(-y)+i*sin(-y)=cos(y)-i*sin(y). Je hebt nu de formules voor ^i*y en e^-i*y. Kijk maar eens wat er gebeurt als je deze formules bij elkaar optelt.

[welle]

Allemaal heel erg bedankt!
Als ik nu de oplossing van Mephostophilis zie was het eigenlijk niet zo ingewikkeld, maar ik kon er niet op komen.