continue dynamische modellen

[alert-red]

heeft iemand enig idee hoe je continue dynamische modellen moet opstellen? ik heb namelijk weinig info van mijn docent ontvangen en meot een po maken en woensdag inleveren.
ik heb al experimenten gedaan. ik heb koffie laten afkoelen en om de 10 minuten gemeten wat de temp was, tot dat ie op kamertemperatuur was (21 graden)

en ik heb koffiemelk, en pap uit de koelkast gehaald tot ie ook op kamertemp was en metingen om de 10 minuten verricht. nu moet ik hier een continue dynamisch model van maken. iemand idee hoe ik dat moet doen?

Newton's law of cooling: De temperatuur verandering van een lichaam is evenredig met de temperatuurverschil van het lichaam en de omgeving.
wiskundig:

dT/dt=k(T-T_o)
T_o= Temperatuur van omgeving
T = Temperatuur lichaam
k = constante

oplossen van de differentiaalvergeijking geeft:
T-T_o=A e^kt
met A de begin temperatuur, en k kan dan berekend worden als je aantal metingen hebt.

Als je wilt kan je T-T_o[ nog vervangen door een andere variabele

oops een klein foutje. Koffie warmer dan omgeving eem ik aan
dT/dt=-k(T-To)
dus Ae^-kt

[alert-red]

ik heb hier ook de afkoelingswet van Newton, met deze formule:

dT/dt=c x (T-21)

ik kan wel aan c komen als ik die andere gegevens heb, maar als ik verschillende meetpunten heb, hoe kan ik c dan het nauwkeurigst krijgen? ik heb hier even een voorbeeldje:

koffie na aantal minuten

0=75 graden
10=51
20=42
30=35
40=32
50=30
60=29
70=26
80=25
90=24
100=23
110=22
120=21

en 21 graden is kamertemperatuur.
dan moet ik hier zeg maar een dynamisch model van maken...

let op.

afoelingswet van Newton:

dT/dt=k(T-T_o)
T-T_o= A e[sup]kt
T(t)=T_o+A e[sup]kt
bij t=0 is je koffie 75 graden dus:
T(0)=T_o+A
A=T(0)-T_o

dus T(t)=T_o+(T(o)-T_o)e^kt
vullen we alle bekenden in, dan krijgen we:
T(t)=21+54e^kt
enige wat we nog willen weten is k.
neem t=110 min dan is T(110)=22
22=21+54e^120k
k=ln((22-21)/54)/120=-0.036
dus T(t)=21+54e^-0.036t

ik zie paar foutjes (ik hoop dat jij ze ook ziet), maar formule klopt wel

[alert-red]

het is wel ingewikkeld.. ik heb hier aantal stencils en daar staat een voorbeeldsom

na 10 seconden is er een meting, en dan is de temperatuur 6 graden gedaald, dus dT/dt=-6/10 = -0.6C/s
op t=5 is de temperatuur 197graden

wet= dT/dt=c x (T-15)

t=5 geeft -0.6=c x (197-15) dus c=-0.6/182=-0.0033

dynamisch model is dT/dt=-0.0033(T-15) met T(0)=200

dat snap ik wel, maar dan wil ik meer waarden erin stoppen, zodat ik nauwkeuriger krijg, het aantal significante cijfers speelt een rol. hoe kan ik dat op deze manier toevoegen?

bovendien moet ik een lijnelementen veld tekenen. hoe kan ik dat doen? alvast bedankt voor de hulp en ik hoop nog wat meer hulp te krijgen, het is nl voor een po die 20% meetelt voor examen...

[WelVrolijk]

Het aantal significante cijfers wordt (bij een voldoende groot aantal metingen) natuurlijk ook nog begrensd door de nauwkeurigheid van je metingen.

-----

Heb je al eens geprobeerd, hoe je metingen en berekende waardes er uit zien in een grafiekje?

Ik heb zelf even geen GR bij de hand.
Maar als ik de waarden even in Excel zet, lijkt het alsof k=-0,04 een even goede benadering geeft als k=-0,036. (Dus vermoedelijk is het niet zinvol om meer "significante" cijfers toe te voegen)

In beide gevallen zie ik overigens dat in het begin de berekeningen hoger uitvallen dan de metingen, en verderop juist lager.


Waarom zijn die "21" en die "54" eigenlijk "bekend" ?

Die 21 graden is toch ook gewoon maar een meetwaarde?
En die 54 is (blijkbaar) 75 - 21; En die 75 was ook een meetwaarde ...


Kijk maar eens wat er in excel gebeurt, als je die 54 vervangt door 50 (om maar weer eens een rond getal te noemen).

En wat gebeurt er als je 21 vervangt door iets anders?

-----------

Concrete tips kan ik je op dit moment helaas niet geven, want ik heb nog nooit een hoofdstuk over Continue Dynamische Modellen gegeven.
Dus ik weet niet precies wat voor theorie je hierbij mag gebruiken.

Maar ik neem aan, dat je er zelf wel wat over hebt geleerd?
En anders is er in de bibliotheek vast wel een of ander wiskunde B12-boek waar het in staat (Ik weet even zo gauw niet of wb1 discrete of continue dynamische modellen behandelt).

[WelVrolijk]

Even kort gecheckt op de site van de NVvW:


Continue dynamische modellen zitten in VWO Wiskunde b1 en b12, echter niet langer in CSE, enkel in Schoolexamens (dus inclusief practische opdrachten).

Discrete dynamische modellen zitten in VWO Wiskunde a12.

Bij de HAVO-stof vind ik geen van beide terug.

---

Dus als je in de bibliotheek wilt zoeken, kijk dan bij VWO boeken voor Wiskunde b12 en/of b1.

[alert-red]

ik heb wiskunde b1 maar staat niet in mijn boek. ik heb wel stencils gehad maar er wordt niet duidelijk uitgelegd.

eigenlijk moet ik eerst van de gegevens die ik heb gemeten, een lijnelementen veld maken. daaruit moet ik een dynamisch model halen. iemand ideeen hoe dat moet?

jij zegt: dynamisch model is dT/dt=-0.0033(T-15)

nu kan je dus voor alle T, dT/dt uitrekenen. Maak hiervan een tabel.

dT/dt<0 dan is de grafiek dalend
dT/dt>0 dan is de gafiek stijgend
dT/dt=0 dan is de grafiek horizontaal

bij jou zal de grafiek dalend zijn. Je wilt dus gebruik maken van veldlijnen, en daaruit de oplossing van de differentiaalvergelijking halen.
kijk hier maar: http://www.sosmath.com/diffeq/slope/slope1.html

[alert-red]

ik wil op een dynamisch model uitkomen die er zo uitziet:

dT/dt= c x (T-21) bijvoorbeeld..

in ieder geval dT/dt voor het = teken

hoe kan ik dan de constante uitrekenen als ik meerdere gegevens heb? ik kan wel voor elke tijdseenheid dT/dt uitrekenen, maar wat dan?

waarvan moet ik eigenlijk de delta's, de verschillen uitrekenen? van het verschil met de vorige meting of tijdseenheid of moet ik tot 0 doen?

groeten

De oplossing van die d.v. is (je vergat een minteken):

ln(T-21) = -c*t + k (met c en k cst.)

T = K*e^(-c*t) + 21

Op t=0 wordt dat:

T = K + 21 -> hieruit kan je K bepalen

Daarna kan je een willekeurige t en T invullen, dan 'rolt' c eruit.

Het tekenen pak je anders aan.
Dan zeg je

T' = -c*(T-21)

T' (=dT/dt) is de steilheid van je grafiek - als je c weet kan je die dus invullen. Stel c=0,1 (puur voor het voorbeeld) en T=40, dan: T' = -0,1*(40-21) = -1,9. Van die 'raaklijn' teken je een klein stukje, een paar mm. Dan kies je een andere T, zo teken je een flink aantal lijntjes. Je ziet dat het lijnenveld symmetrisch is onder translatie over de t-as.

[alert-red]

oke maar ik weet de waarden van dT/dt zelf al.

bijv. bij koffie:

0=75
10=51


bij 10 minuten = dT 24 en dt 10 dus 24/10=2.3

en dan is 2.3 richtingscoefficient toch?

alert-red schreef op 03-12-2006 @ 14:50 :
... po maken en woensdag inleveren.
... een continue dynamisch model ...

Voor zover ik weet, is 'continue' de meervoudsvorm van 'continu'. Dan zou het dus "een continu model, twee continue modellen" moeten zijn. Maar ja, ik ben altijd slecht geweest in talen.

Als je woensdag het verslag moet inleveren, kan het handig zijn even na te kijken hoe je het precies moet schrijven.

(Volgens mij hadden wij het vroeger op de middelbare school ook altijd over "de functie is continue" etcetera. Kijk dus even na hoe je docent het schrijft in enkelvoud, en houd die spelling aan. Zou uiteindelijk net een puntje kunnen schelen)

alert-red schreef op 04-12-2006 @ 17:28 :
oke maar ik weet de waarden van dT/dt zelf al.

bijv. bij koffie:

0=75
10=51


bij 10 minuten = dT 24 en dt 10 dus 24/10=2.3

en dan is 2.3 richtingscoefficient toch?

Pas op.

Je werkt hier met gemeten getallen.
Snees werkt met berekende waarden.

Kijk even op die stencils, welke versie je voor deze opdracht moet nemen ...


Houd ook de tekens goed in de gaten: Als dT/dt positief is, is de koffie aan het opwarmen ipv afkoelen.


En kijk uit voor rekenfoutjes.
- Voor een taalfout zouden "eigenlijk" punten moeten worden afgetrokken. Maar je weet nooit zeker in hoeverre een wiskundedocent zich daaraan zal houden.
- Voor een rekenfout zullen *zeker* punten worden afgetrokken.

[alert-red]

ja foutje, het moet natuurlijk -24/10 zijn = -2.4 het word al laat..

alert-red schreef op 04-12-2006 @ 17:28 :
oke maar ik weet de waarden van dT/dt zelf al.

bijv. bij koffie:

0=75
10=51


bij 10 minuten = dT 24 en dt 10 dus 24/10=2.3

en dan is 2.3 richtingscoefficient toch?

Nee, dan heb je er weinig van begrepen. dT en dt zijn infinitesimaal klein. Jij rekent vanaf t=0 en T=80 graden, dat mag niet. dT/dt op t=10 is eigenlijk (T(10,0000...0001) - T(10)) / 0,000...0001.

[alert-red]

net wiskunde gehad, en we moeten gewoon een grafiek tekenen en op een aantal punten dT/dt doen op die manier die ik had gezegd, en dan moeten we een model tekenen, maar waarschijnlijk is het geen dynamisch model want dat kan niet met deze metingen, maar dat lukt waarschijnlijk bij niemand uit de klas.

alert-red schreef op 05-12-2006 @ 11:35 :
net wiskunde gehad, en we moeten gewoon een grafiek tekenen en op een aantal punten dT/dt doen op die manier die ik had gezegd, en dan moeten we een model tekenen, maar waarschijnlijk is het geen dynamisch model want dat kan niet met deze metingen, maar dat lukt waarschijnlijk bij niemand uit de klas.

Dan is het eigenlijk geen dT/dt.
Waarschijnlijk eerder iets als delta T gedeeld door delta t. (Maar ik weet natuurlijk niet precies hoe jullie dat opschrijven.

--------------

Als je overigens die 21 zomaar accepteert als correcte waarde, dan kun je natuurlijk gewoon die andere twee constantes bepalen dmv exponentiele regressie. Dat is een van de standaardfuncties van je GR.
(Je zult dan waarschijnlijk wel zelf de nauwkeurigheid moeten bepalen)

[alert-red]

dat zeg ik toch.. deltaT / delta t

alert-red schreef op 05-12-2006 @ 16:59 :
dat zeg ik toch.. deltaT / delta t

Neen.

Je zei: d T / d t.

En dat is iets heel anders als delta T / delta t.
Dat heeft Snees je net uitgelegd in zijn post van 04-12-2006 @ 20:40

lim Δt nadert oneindig ΔT/Δt=dT/dt

Global1 schreef op 05-12-2006 @ 17:19 :
lim Δt nadert oneindig ΔT/Δt=dT/dt

Niet bepaald tot oneindig.

Lees anders de post van Snees gepost op 04-12-2006 @ 20:40 nog maar eens.

Hoe dan ook, dat is heel wat anders dan wat alert-red hier doet.

[mathfreak]

Global1 schreef op 05-12-2006 @ 17:19 :
lim Δt nadert oneindig ΔT/Δt=dT/dt

Nee, Δt nadert tot 0, niet tot oneindig. Sla er in dat verband de limietdefinitie van een afgeleide nog maar eens op na.

[alert-red]

ik doe in ieder geval delta T / delta t

jaja ja. moet nadert nul zijn. argh

alert-red schreef op 05-12-2006 @ 18:21 :
ik doe in ieder geval delta T / delta t

Prima.

Dat is goed, want zo is het in de klas immers ook gedaan.
Zorg er wel voor, dat je het correct in je verslag schrijft.
Dus met een delta, en niet met een d. Anders denkt je docent wellicht, dat je het verschil niet helemaal begrepen hebt.