[WI] Parametervoorstelling, Cartesiaanse vergelijking

[wmostrey]

Ik zit wat in de knoei hiermee.

Bv gegeven A <->
{ x - 2y + 1 = 0
{ 2y - z = 0

Hoe maak ik hiervan een parametervoorstelling van A?

Of L <-> x -1 = y - 2 = 2 - z

Hoe maak ik hier een parametervoorstelling van, of de vergelijking van L zelf?

[Ozzman]

stel y=t bij A

x=2t-1
y=t
z=2t


en L:
x-1=t => x=1+t
y-2=t => y=2+t
2-z=t => z=2-t

[wmostrey]

Dat waren de uitkomsten die ook ik bekwam, maar de oplossing ter controle van de eerste oefening is bv de volgende:

x = 5 +2r
y = 3 +r
z = 6 +2r

Hoe kom ik daar aan?

[TD]

Die zijn equivalent, stel t = 3+r om dat te zien.

[ILUsion]

Volgens mij zijn beide oplossingen juist. Een rechte wordt bepaald door een plaatsvector op die rechte plus een veelvoud van een richtingsvector van die rechte.

in de gegeven oplossing is (5,3,6) de plaatsvector en (2,1,2) een richtingsvector. Je kan controleren dat de plaatsvector klopt door die in te vullen in de vergelijking die dan geldig moet blijven.

In jullie oplossing heb je de volgende plaatsvector (-1,0,0) en die ligt in ieder geval op de rechte (z = 0 ==> 2y = 0 ==> x = -1); ga je dan verder naar de richtingsvector dan zie je dat die bij jullie ook (2,1,2) is. Jullie uitkomst is dus perfect. (En in feite is elk veelvoud van die richtingsvector ook een richtingsvector, dus (4,2,4) is ook een richtingsvector voor die rechte).

Om die cartesische vergelijking om te zetten, hou je best in het achterhoofd hoe je van parametervoorstelling naar cartesische bent gegaan: in de parametervergelijkingen heb je de parameter (k voor de makkelijkheid) geelimineerd. Wat dus betekend: (x - a)/d = (y - b)/e = (z - c)/f = k. Hiermee kan je ze terug omvormen en kan je trouwens opmerken dat (a,b,c) een plaatsvector op die rechte is en (d,e,f) een richtingsvector (in dit geval dus (1,1,1)). Dit werkt veel snller dan steeds manueel te gaan terugwerken. Met die beide vectoren kan je natuurlijk makkelijk de vergelijking opstellen:
(x,y,z) = (a,b,c) + k(d,e,f) (dit is de vector vergelijking, als je de vectoren echter onder elkaar schrijft, zie je direct de paramtervergelijking:
x = a + k d
y = b + k e
z = c + k f

En voila

PS: als je moeite hebt met die formules, ik heb hier op de volgende locatie een document staan met héél veel formules, en dan vooral van ruimtemeetkunde: http://student.vub.ac.be/~egeerard/files/wiskunde.pdf (misschien staan er hier en daar wat foutjes in, maar bij de ruimtemeetkunde normaalgezien niet). Ik hoop dat je er iets aan hebt, de meeste opgaven die je in het middelbaar krijgt, moet je er wel mee kunnen oplossen.

[wmostrey]

Bedankt allen, dat helpt me al een stap vooruit. Wat is de beste manier om dan van bv

L <-> x -1 = y - 2 = 2 - z

de snijpunten met een andere rechte te bereken, of met een bol? Normaal los je gewoon de vergelijking op, maar:

1/ Hoe geraak ik aan een gewone vergelijking in de vorm ax + by + cz = 0 uit bovenstaande L?

2/ Hoe bereken je de snijpunten als het om een bol gaat? Bv:

S <-> x² + y² + z² = 17?

Ik zie dat m van de bol zich in de oorsprong bevindt met straal sqr(17) maar hoe ga ik verder van daaruit?

Je zult
L <-> x -1 = y - 2 = 2 - z
nooit kunnen omschrijven tot *een* vergelijking van de vorm
ax + by + cz = 0


ax + by + cz = 0
is de vergelijking van een vlak.


L <-> x -1 = y - 2 = 2 - z
definieert een lijn.


Uiteraard is een lijn (in een 3-dimensionale ruimte) wel te beschouwen als snijlijn van twee vlakken.

Zo kun je L wel schrijven als een tweetal vergelijkingen.
En dat is vrij makkelijk.
Bijvoorbeeld x -1 = y - 2 kun je herschrijven tot x - y = -1
En y - 2 = 2 - z kun je herschrijven tot y + z = 4.
Dus het stelsel
x - y = -1
y + z = 4
Beschrijft precies de lijn L.

Bij het bepalen van snijpunten (of snijlijnen) is het vaak juist handig om uit te gaan van verschillende soorten beschrijving.


Bijvoorbeeld, als je een van beide hebt als vergelijking (of als stelsel vergelijkingen), en de ander als parametervergelijking, dan kun je die parametervergelijking rechtstreeks invullen in de vergelijking(en).


Dus als je bijvoorbeeld L schrijft als:
x = t + 1
y = t + 2
z = -t + 2
Dan kun je die x, y en z gewoon invullen in de vergelijking van die bol.
Je krijgt dan een vergelijking in t, die los je op, ne het resultaat (of de resultaten) vul je dan weer in in bovenstaande vergelijkingen.

[wmostrey]

Enorm bedankt Ozzman, TD, ILUsion en Vrolijk! Die logica was me nog onduidelijk en nu lukt het prima.