[WI] Differentiëren

Ik heb voor school (5V) een blad mee naar huis gekregen met 32 te differentiëren functies, ik heb ze bijna allemaal uitgewerkt maar bij 4 liep ik vast, ik hoop hierbij wat hulp te krijgen zodat ik met een gerust hart het proefwerk kan gaan maken

1. f(x) = 1/2(x²-5x)sqrt(x)
---> 1/2sqrt(x)(x²-5x) en dan product?
2. g(x) = (x-1)*2^-x+2x
---> tevens productregel?
3. h(x) = (2^x + 1)/(2^x - 1)
---> hier kom ik helemaal niet uit
4. k(x) = (x³+3x)^1/3
(3e machtwortel uit x³+3x)



Ohja de gegeven antwoorden zijn als volgt:

1. f'(x) = 5/4xsqrt(x)-15/4sqrt(x)
2. g'(x) = 2^-2+2x+ln2*(x-1)(-2x+2)*2^-2+2x
3. h'(x) = (-2^x+1*ln2)/(2^x-1)²
4. k'(x) = (x² + 1)/(x³+3x)^1/3

[mathfreak]

Shoarm schreef op 03-03-2007 @ 17:36 :
Kan iemand me hier even vertellen hoe ik machten moet doen dan kan ik de functies die ik niet begrijp uittypen.

Zie de uitleg in http://forum.scholieren.com/showthre...hreadid=849279

Aah ik wist dat ik eht ergens had gelezen maar niet meer waar. Dankje!

ok beginpost aangepast!

[ILUsion]

De regels die je hier moet gebruiken zijn product/quotiëntregel en de kettingregel. (waarbij D de afgeleide betekent van hetgene er net naast staat, hierbij is x steeds de variabele, en zijn a en b functies van x). Een alternatieve notatie voor D is d.../dx (waarbij je ... gaat afleiden naar x)

(PR) productregel: D(a*b) = aDb + bDa
(QR) quotiëntregel: D(a/b) = (bDa - aDb)/(b^2)
(KR) kettingregel: D(a(b)) = d(a(b))/dx = d(a(b))/d(b) d(b)/d(x) (dit komt erop neer dat je de functie a gaat afleiden naar b en dat vermenigvuldigt met de afgeleide van b naar x)

Bij elk een voorbeeld:
D(2x * 3x) = 2x D 3x + 3x D 2x = 6x + 6x = 12 x = D (6x^2)
D(2x / 3x) = (3x D 2x - 2x D 3x)/(9x^2) = (6x - 6x)/(9x^2) = 0 = D (2/3)
D(sin(x^2+x+2)) = cos (x^2+x+2) * D (x^2+x+2) = cos(x^2+x+2) * (2x + 1)

Bij de kettingregel doe je dus alsof er tussen de haakjes van een bepaalde functie gewoon x staat (of je vervangt hetgene tussen de haakjes door een andere letter (u)), dan ga je afleiden naar hetgene tussen de haakjes (u), en dan vermenigvuldig je dat met de afgeleide van hetgene tussen de haakjes (u) naar x.

Bij het differentiëren (en ook wel bij het integreren), komt het neer op het zien van de structuur van de formule die je differentiëert:

Van je f(x) blijf ik af, omdat ik niet zeker ben of die wortel ook onder je breukstreep staat of niet (haakjes gebruiken!, bij een rekenmachine zou enkel je 2 onder de breuk staan).

Ik gebruik hier geen {sup} voor de machten maar ^ omdat dat veel sneller wegtypt, ook al is het iets minder duidelijk

g(x) = (x-1)*2^(-2+2x)

PR (je ziet een prduct van 2 functies staan)

(x-1)D(2^(-2+2x)) + 2^(-2+2x)D(x-1)

afleiden van een veelterm (rechts), zie standaardformules voor een som

(x-1)D(2^(-2+2x)) + 2^(-2+2x)x

exponentsregel (of desnoods via omvormen van dat exponent naar een e-macht via logaritmes en dan KR) en KR

(x-1)2^(-2+2x)(ln 2) *D(-2+2x) + 2^(-2+2x)*x

Weeral een veelterm, dus een standaardafgeleide:

2(x-1)2^(-2+2x)(ln 2) + 2^(-2+2x)*x

Als je op zoek bent naar een vrij uitgebreid formularium voor die formules, moet je maar eens op http://student.vub.ac.be/~egeerard/files/Wiskunde.p kijken (p.10 afgedrukt, p.11 in Adobe Reader) . Daarin staan de meeste formules voor het afleiden (en ook voor het integreren) en voor heel wat andere dingen die je misschien nog nodig zal hebben.

Naast je basisafgeleiden zijn de som/verschil-, product-, quotiënt- en kettingregel de allerbelangrijkste formules in differentiaalrekening.

Ja bedankt voor je hulp, ik weet echter de regels die ik moet gebruiken (wisforta e.d) echter, ik kan niet tot het gegeven antwoord komen. Om als voorbeeld even die g(x) te nemen. Deze heb ik als volgt uitgewerkt:

Inderdaad product regel, dus als volgt:

1. [x-1]'*(2^-x+2x)+(x-1)*[2^-x+2x]'

2. [x-1]' = 1 dus eerste term is gewoon (2^-x+2x)

3. [2^-x+2x]' = 2^-x+2x*ln(2)

wordt totaal: (2^-x+2x)+(x-1)(2^-x+2x*ln(2))

dit lijkt mij goed (Of ziet iemand een fout) maar hoe ik dan op het antwoord kom dat hier gegeven wordt snap ik niet.


antwoord: g'(x) = 2^-x+2x+ln2*(x-1)(-2x+2)*2^-x+2x

[ILUsion]

Shoarm schreef op 03-03-2007 @ 20:03 :
Ja bedankt voor je hulp, ik weet echter de regels die ik moet gebruiken (wisforta e.d) echter, ik kan niet tot het gegeven antwoord komen. Om als voorbeeld even die g(x) te nemen. Deze heb ik als volgt uitgewerkt:

Inderdaad product regel, dus als volgt:

1. [x-1]'*(2^-x+2x)+(x-1)*[2^-x+2x]'

2. [x-1]' = 1 dus eerste term is gewoon (2^-x+2x)

3. [2^-x+2x]' = 2^-x+2x*ln(2)

wordt totaal: (2^-x+2x)+(x-1)(2^-x+2x*ln(2))

dit lijkt mij goed (Of ziet iemand een fout) maar hoe ik dan op het antwoord kom dat hier gegeven wordt snap ik niet.


antwoord: g'(x) = 2^-x+2x+ln2*(x-1)(-2x+2)*2^-x+2x

Volgens mij klopt er echt iets niet aan de opgave of aan de oplossing, als er (-x+2x) staat mag je dat natuurlijk vereenvoudigen tot (x), maar bij de eerste oplossing die je ervoor gegeven hebt, stond er (-2+2x), wat logischer lijkt. Kijk dus eens na wat daar in je boek staat; het kan ook altijd zijn dat die oplossing gewoon verkeerd gegeven is het boek, dat gebeurt ook maar al te vaak

Ja ik zag al dat ik flink wat typfoutjes heb gemaakt en zal hem ff goed nakijken/overtypen.


aaaaah kijk mijn leraarhad een word bestandje gemaakt met daarin alle opgaven en deze naar pdf getransporteerd, daarom zijn exponenten van exponenten zo goed als weggevallen, maar nu ik heel goed kijk staat er als opgave dit:

(x-1)*2^{-x^2+2x}

dus die x staat tot de macht! dan wordt het inderdaad een stuk logischer want -x+2x is gewoon x natuurlijk.

Ff kijken of hij nu lukt. Bedankt voor je hulp hè , nu de rest nog.

[mathfreak]

h(x) =(2^x+1)/(2^x-1)
=(2^x-1+2)/(2^x-1)
=(2^x-1)/(2^x-1)+2/(2^x-1)
=1+2/(2^x-1)=1+2(2^x-1)^-1, dus met behulp van de kettingregel vind je nu: h'(x)=2(2^x-1)^-2*2^x*ln(2)
=2^x+1*ln(2)/(2^x-1)².

mathfreak schreef op 04-03-2007 @ 12:08 :
h(x) =(2^x+1)/(2^x-1)
=(2^x-1+2)/(2^x-1)
=(2^x-1)/(2^x-1)+2/(2^x-1)
=1+2/(2^x-1)=1+2(2^x-1)^-1, dus met behulp van de kettingregel vind je nu: h'(x)=2(2^x-1)^-2*2^x*ln(2)
=2^x+1*ln(2)/(2^x-1)².

Dit gaat me echt te snel, de eerste stap al.

Waarom wordt =(2^x+1) --> =(2^x-1+2)

Waarom zou je dat doen?

[mathfreak]

Shoarm schreef op 04-03-2007 @ 13:40 :
Dit gaat me echt te snel, de eerste stap al.

Waarom wordt =(2^x+1) --> =(2^x-1+2)

Waarom zou je dat doen?

Stel 2^x-1=u, dan geldt: 2^x=u+1, dus 2^x+1=u+2=2^x-1+2, dus je kunt (2^x+1)/(2^x-1) nu schrijven als (2^x-1+2)/(2^x-1)
=(2^x-1)/(2^x-1)+2/(2^x-1)
=1+2/(2^x-1). Je hebt nu een constante functie 1 gekregen die 0 als afgeleide heeft, dus je hoeft alleen nog maar de afgeleide van 2/(2^x-1)=2(2^x-1)^-1 te bepalen om de afgeleide van (2^x+1)/(2^x-1) te vinden.

[ILUsion]

Shoarm schreef op 04-03-2007 @ 13:40 :
Dit gaat me echt te snel, de eerste stap al.

Waarom wordt =(2^x+1) --> =(2^x-1+2)

Waarom zou je dat doen?

Zo kun je makkelijker die deling uitvoeren:

vermits er voor een deling geldt dat (a+b)/c = a/c + b/c, kun je dat hierboven ook toepassen; zo krijg je een som 1 + 2/(2^x-1), zodat je kettingregel veel makkelijker toegepast wordt. Het hoeft natuurlijk niet, zonder dat truckje (ik zou er zelf bijvoorbeeld ook niet direct opkomen, maar mathfreak is nu eenmaal iemand die met wiskunde speelt, heb ik de indruk) kom je er even goed. Dat is juist het leuke aan differentiëren; je kan op verschillende manieren aan juiste oplossingen komen door gewoon andere regeltjes toe te passen, het maakt meestal niet veel uit welke regels je toepast (zolang het maar correcte regels zijn).

Je mag natuurlijk altijd zelf van die trucjes uitvinden: als je ergens een som of product of iets dergelijks ziet staan, en je herkent er bijna een bepaalde formule in, mag je dat omvormen tot die bepaalde formule door er bijvoorbeeld een getal bij te tellen, en dan gewoon weer van af te trekken: netto veranderd er niets aan je opgave, maar wat de uitwerking betreft is dat soms veel makkelijker. Ik kan nu direct geen andere voorbeelden bedenken; maar ik herinner me in ieder geval dat dat principe bij verschillende problemen uitkomst kan bieden, het probleem met die methode is dat je moet leren zien wanneer het handig kan zijn (zoals Mathfreak hier aantoont) en natuurlijk dat je dat nauwgezet moet uitvoeren.Dat dit principe werkt, is gewoon een gevolg van de equivalentierelatie die het gelijkheidsteken uitdrukt: als A = B, dan betekent dat ook dat B = A. Met een voorbeeld: 1 + 1 = 2, dus 2 = 1 + 1; en dat is ook maar wat Mathfreak gedaan heeft, de opgave eerst ogenschijnlijk moeilijker gemaakt, maar door die moeilijkere schrijfwijze wel beter kunnen verwerken.