[Wisk] Linear algebra

[Dr HenDre]

Ik heb volgende week tentamen en was aan het oefenen, kwam op de volgende som waar ik niet uit kwam.

(vrij vertaald)
Geef een basis voor de volgende objecten in R³
a) Het vlak met vergelijking 3x-2y+5z=0
b) het vlak met x-y=0
c) lijn x=2t, y=-t, z=4t

Dit is wat ik heb bij a:
Het vlak gaat door de oorspong en is dus een deelruimte van R³. Om de basis te vinden moet ik dus eerst de(?zijn deze uniek?) 2 vectoren vinden die het vlak opspannen en daarna nagaan of deze liniear onafhankelijk zijn.
Echter is het probleem dat ik niet weet hoe ik aan de hand van een vergelijking van een vlak (of lijn) de vectoren kan vinden die dat vlak/die lijn opspannen.

Alvast bedankt

Dr HenDre schreef op 20-06-2007 @ 19:39 :
a) Het vlak met vergelijking 3x-2y+5z=0
b) het vlak met x-y=0
c) lijn x=2t, y=-t, z=4t

a:

Je hebt inderdaad 2 vectoren nodig die de basis spannen. Omdat deze basis niet orthonormaal hoeft te zijn, is dat niet zo'n probleem. Stel 1 variabele nul, en gebruik de overige relatie om 1 vector te maken. Doe hetzelfde nu weer, maar nu met een andere variabele.

Dus: stel eerst bijv. z = 0
Dan krijg je 3x - 2y = 0
Vector die dit opspant: (2,3,0) (als je het invult zie je dat altijd aan de oorspronkelijke vergelijking is voldaan)

Stel y = 0:
3x + 5z = 0
Vector: (5,0,-3)

Dus een basis is <(2,3,0), (5,0,-3)>

b:

Vlak met x - y = 0

Eenvoudig is in te zien dat (1,1,0) hieraan voldoet. z komt er niet in voor, dus (0,0,1) voldoet ook altijd.
Basis: <(1,1,0), (0,0,1)>

c:

Dit is gewoon (2,-1,4) volgens mij.