[WI] Getallensystemen

[Sadar]

Mijn profielwerkstuk gaat over groepen en lichamen mbt de getallensystemen. Ik heb nu een boek voor de verzamelingenleer gekregen van mn lerares, maar ik loop nu dus tegen een onduidelijkheid aan.

Alle basistheorie over verzamelingen, ordening, relaties en kardinaliteit heb ik nu aardig onder de knie.

In het hoofdstuk over gehele getallen staan ze voor mij onduidelijk gedefinieerd. Er staat:

blabla de verzameling N uitbreiden zodat er voor de vergelijking a + x = b altijd een antwoord is te vinden(wat in n alleen kan als b>a). Dat volg ik nog. Maar daarna beginnen ze over de verzameling N * N , met de equivalentie relatie ~, (a,b)~(c,d) -> a+d=b+c(of a-b=c-d toch?). En dan is de verzameling Z, van gehele getallen, de verzameling van alle equivalentieklassen, oftewel de partitie.

Dat laatste vind ik dus raar, hoe ze van een hele klasse van natuurlijke paren een element van Z maken en dus een geheel getal. Mijn vraag is dus, kan iemand mij de afleiding van de verzameling Z uit de verzameling N nader uitleggen.

[mathfreak]

Sadar schreef:

Mijn profielwerkstuk gaat over groepen en lichamen mbt de getallensystemen. Ik heb nu een boek voor de verzamelingenleer gekregen van mn lerares, maar ik loop nu dus tegen een onduidelijkheid aan.

Alle basistheorie over verzamelingen, ordening, relaties en kardinaliteit heb ik nu aardig onder de knie.

In het hoofdstuk over gehele getallen staan ze voor mij onduidelijk gedefinieerd. Er staat:

blabla de verzameling N uitbreiden zodat er voor de vergelijking a + x = b altijd een antwoord is te vinden(wat in n alleen kan als b>a). Dat volg ik nog. Maar daarna beginnen ze over de verzameling N * N , met de equivalentie relatie ~, (a,b)~(c,d) -> a+d=b+c(of a-b=c-d toch?). En dan is de verzameling Z, van gehele getallen, de verzameling van alle equivalentieklassen, oftewel de partitie.

Dat laatste vind ik dus raar, hoe ze van een hele klasse van natuurlijke paren een element van Z maken en dus een geheel getal. Mijn vraag is dus, kan iemand mij de afleiding van de verzameling Z uit de verzameling N nader uitleggen.

Het idee is dat we de vergelijking a+x=b in N alleen kunnen oplossen als a<b. Om nu deze beperking te laten vallen en ervoor te zorgen dat a+x=b voor alle a en b een oplossing heeft moeten we N uitbreiden. Dit gaat als volgt: laat (a,b) en (c,d) getallenparen zijn uit NxN. We definiëren in NxN een equivalentierelatie (a,b)~(c,d) door middel van de eigenschap a+d=b+c. Verder definiëren we in NxN een optelling (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) en een vermenigvuldiging (a,b)*(c,d)=(a*c+b*d,a*d+b*c). Door (n+a,n) met het natuurlijke getal a te identificeren kunnen we nu een aantal nieuwe getallen introduceren die we tot nu toe nog niet hadden. Allereerst laten we zien dat we in deze nieuwe verzameling een getal 0 hebben met de eigenschap a+0=a. Stel a=(n+a,n) en 0=(x,y), dan moet gelden: a+0=(n+a,n)+(x,y)=(n+a+x,n+y)=(n+a,n). Nu moet gelden: n+a+x+n=n+y+n+a, dus x=y. We identificeren nu (n,n) met het getal 0. We laten nu zien dat er bij een gegeven a een x te vinden is met a+x=0. Stel a=(n+a,n), x=(p,q) en 0=(n,n), dan moet gelden: a+x=(n+a,n)+(p,q)=(n,n), dus (n+a+p,n+q)=(n,n), dus n+a+p+n=n+q+n, dus a+p=q. Stel p=n, dan geldt: q=a+n=n+a, dus x=(n,n+a). We identificeren (n,n+a) met het getal -a en noemen dit het tegengestelde van a. We hebben nu naast de natuurlijke getallen voor ieder natuurlijk getal een tegengestelde, en verder nog een getal 0. De natuurlijke getallen identificeren we nu als positieve gehele getallen, en de overige van 0 verschillende getallen identificeren we nu als negatieve gehele getallen. Al deze getallen samen vormen een nieuwe verzameling Z van de gehele getallen. In deze verzameling heeft a+x=b voor alle waarden van a en b een oplossing x, die voldoet aan x=b+(-a)=b-a.
Naast de bekende regels voor optellen en vermenigvuldiging in N gelden in Z de volgende regels: -(-a)=a, a+b=a-(-b), a*b=-a*-b en -a*b=a*-b. Verder is Z nuldelervrij. Dat wil zeggen dat a*b=0 niet mogelijk is als a en b geen van beide 0 zijn, dus a*b=0 betekent dat a=0 of b=0.

[Sadar]

Bedankt.

[mathfreak]

Sadar schreef:

Bedankt.

Graag gedaan.

[Gunkan]

Holy shit Mathfreak o_O

Mooi verhaal, maareh... ooit gehoord van witregels? *confuus*

[Young Grow Old]

Als je hierover nog meer wilt lezen, dan kun je eens kijken in het boek "Getallen", van professor Frans Keune (Radboud Universiteit). Dit is een boek dat gebruikt wordt in het eerste jaar en in hoofdstuk 4 worden de gehele getallen ook op die manier met een equivalentierelatie en een partitie ingevoerd.

Je kunt de hoofdstukken online lezen op http://www.math.ru.nl/~keune/Getallen/index.html