[WI] telproblemen met combinaties

[erikperik]

Hallo allemaal,
ik zit met een probleempje. Over twee weken moet ik een praktische opdracht voor wiskunde inleveren met een opdracht over telproblemen. Het zijn in totaal drie opdrachten waarvan ik er al twee bijna af heb, maar die andere snap ik niet. Ik weet niet precies hoe ik moet beginnen, ik hoef niet het hele antwoord te weten, maar ik zou graag willen weten hoe ik deze zo makkelijk mogelijk aan kan pakken, voor een goed cijfer. Mijn opdracht telt namelijk voor een kwart mee voor m'n SE-cijfer op het examen... Hier volgt de opdracht:

Korfbal is een gemengde sport. Een zaalteam bestaat uit acht personen: 4 dames en 4 heren. Deze zijn verdeeld over 2 vakken, een verdegigingsvak en een aanvalsvak. Per vak zijn er dus 2 dames en 2 heren.
De coach van dit team moet een beginopstelling maken. Hij kiest daarbij 4 dames en 4 heren uit de selectie van 6 dames en 6 heren.
Hoeveel verschillende beginopstellingen kan hij zo vormen?

Ik weet dus dat je moet kijken naar het aantal personen per team, het aantal vrouwen/mannen per team en de plaats van het persoon, maar ik heb geen idee hoe je dit berekent. Ik weet dat het iets is met combinaties, maar dit is bij ons niet goed genoeg uitgelegd. Zou iemand me hulp kunnen bieden bij deze vraag?

(De andere vragen van de praktische opdracht waren makkelijker, deze gingen over een scoreverloop en een alfabet, en die kon ik wel maken.)

Bij voorbaat dank voor jullie hulp.

[ILUsion]

Het moeilijkste aan dit vraagstuk, is dat je het niet in een keertje kan oplossen. Ik ken de regels van korfbal niet, maar afgaand op wat je opschrijft uit de opgave, kan je het deelprobleem als volgt opsplitsen:

1M) Kies 4 mannen uit een groep van 6 mannen.
1V) Kies 4 vrouwen uit een groep van 6 vrouwen.

2M) Verdeel de 4 mannen onder de verdedigers en aanvallers
2V) Verdeel de 4 vrouwen onder de verdedigsters en aanvalsters

Zoals je ziet kan je het oplossen voor de mannen, dezelfde werkwijze toepassen op de vrouwen en dat samenvoegen.

Bij het kiezen van je 4 mannen voor je team, ga je als volgt te werk: je zet 4 stippen op de grond van je gymzaal. Nu kies je je eerste man (6 keuzes), dan zet je de tweede man op een stip (5 keuzes voor een man), enzovoorts. In totaal heb je dus 6*5*4*3 aantal keuzes waarmee je mannen op de stippen kan zetten. Dit zijn de mannen van je team, maar je gaat straks pas de functies verdelen, dus het maakt niet uit of je man A nu op de eerste stip zet of op de laatste. Om hiervoor te compenseren, gaan we kijken op hoe veel manieren we hen kunnen ordenen. Je hebt nu je 4 mannen al gekozen en je gaat ze stippen uitdelen: 4 keuzes voor de eerste stip, 3 keuzes voor de tweede stip enzovoorts. Omdat je die veranderingen in volgorde (=permutaties) wilt wegkrijgen, ga je je vorige uitkomst delen door 4*3*2*1. Als formule bekom je zo:


In mijn tweede stap in de formules, maak ik gebruik van rekenregels voor faculteiten. Eigenlijk niet echt essentieel (als je die faculteit uitschrijft, zal je wel zien dat het klopt); maar ik vond het wel nodig om je te laten inzien dat je met die intuitieve aanpak, wel tot dezelfde formules komt (en men gebruikt die moeilijkere faculteit-formules eigenlijk omdat ze compacter in notatie zijn dan 999*998*....*752*751 bv. (wat 999!/750! is)).

Je doet exact hetzelfde voor de vrouwen en je bekomt hetzelfde resultaat. Als je dus de keuze van je teamleden zou willen berekenen, neem je het product van beide aantallen (vermits je beide selecties onafhankelijk doet: het is niet omdat man A in het team zit, dat je sowieso weet dat vrouw A ook (of juist niet) in het team zit). En onafhankelijke kansen mag je vermenigvuldigen, dus net zo met het aantal mogelijkheden.

Nu we ons team hebben, beginnen we aan stap 2, dit keer voor de vrouwen als berekening. Vermits je nu met 4 personen zit, kan je ofwel uitschrijven welke configuraties allemaal mogelijk zijn en gewoon tellen. Met formules, kom je er op deze manier:
je plaatst weer 4 stippen op de vloer van je zaal, maar deze keer de eerste twee stippen in het aanvalsvak en de andere twee in het verdedigingsvak. En je begint weer de vrouwen te verdelen onder de stippen: 4 keuzes voor de eerste stip, 3 keuzes voor de tweede stip. En daarmee zijn de aanvalsstippen verdeeld, de twee overige stippen kan je maar op een manier verdelen: je twee overblijvende dames daar plaatsen (het niet uitmaakt of je haar nu op de eerste stip in het vak zet of op de tweede stip in het vak. Maar we zitten hier met hetzelfde probleem als daarjuist: in ons aanvalsvak, hebben we er nog geen rekening mee gehouden dat het niet uitmaakt of je eerst mevrouw A hebt en dan mevrouw B of omgekeerd, je moet dus nog eens delen door 2*1=2! (redenering is analoog aan de eerste stap: je neemt je twee aanvalsters en je verdeelt de stippen: 2 keuzes voor stip 1, 1 keuze voor stip 2). Dat geeft dus:


Ook hier kan je weer herhalen zoals hierboven voor de heren en het product nemen om te weten hoe veel verschillende teams je kan maken als je reeds een selectie hebt van 4 heren en 4 dames. Omdat je niet kan zeggen dat als man A aanvaller is, dat je sowieso kan weten dat mevrouw B dan verdediger is. Je zou de positieverdelingen even goed in twee aparte zalen kunnen doen en nadien de mannen en vrouwen samenbrengen net voor de match.

Als je nu het product neemt van beide stappen, kom je uit op de uiteindelijke uitkomst: in stap 1 heb je namelijk berekend hoe veel teams je kan samenstellen uit 6 mannen en 6 vrouwen. In stap twee ben je voortgegaan van een team en dan posities op het veld gaan uitdelen. Vermits ook hier weer alles onafhankelijk is: je gaat je posities niet anders verdelen als je een team hebt bestaande uit mannen A, B, C en D en vrouwen E, F, G en H tegenover een andere teamsamenstelling.

Je einduitkomst moet dus de volgende zijn:

Erik, de perik de berekening van de belg klopt volgens mij niet helemaal... ik kom op 8100 uit. Kijk maar wat je er mee kan.