[WI] Het eiland van Koch

[Hanneke]

We delen een lijnstuk in drie gelijke delen. Het middelste deel vervangen we door een gelijkzijdige driehoek waarvan we de basis weglaten. De nieuwe figuur telt vier lijnstukjes.
Een interessante figuur krijgen we als we dit procédé toepassen op de drie zijden van een gelijkzijdige driehoek.
De lengten van de zijden van F₀ zijn 1.

A. Bereken de oppervlakte A₀ en de omtrek s₀ van F₀.



B. Bereken de oppervlakte A₁ en de omtrek s₁ van F₁.



Door dit procédé te herhalen ontstaan figuren F₂, F₃, F₄,...
C. Bereken de oppervlakte A₂ en de omtrek s₂ van F₂.

D. Stel formules op voor de oppervlakte A_n en s_n van F_n.
De formule van s_n lukt nog wel. Dat is geloof ik .
De formule voor A_n kom ik niet helemaal uit. Een recursieve formule lukte wel. Er komt natuurlijk steeds een aantal van die drieheokjes bij. Dus:


Dit laatste is een meetkundige rij, en omdat het steeds er bij komt zou ik daar de somformule voor kunnen gebruiken. Hier loop ik vooral vast. Ik denk zelf dat het zoiets zou moeten zijn (geen idee of dit goed is):



E. Bereken en

is denk ik oneindig? Want een rekenkundige rij met r>1, maar geen idee of ik hier zo van uit mag gaan?

De limiet van A_n zou ik écht niet weten hoe ik dat moet doen. Het moet wel een 'normale' limiet hebben, want het figuur blijft binnen de cirkel. Ik denk binnen de cirkel die door de hoekpunten van figuur F₀ gaat. Maar goed, hoe ik dit aan de formule zou kunnen zien weet ik dus niet.

[ILUsion]

De limiet van de omtrek is inderdaad oneindig. Je mag dat wel degelijk beschouwen vanuit dat oogpunt dat het een meetkundige rij is met r>1. Je ziet uit het voorschrift gewoon al dat je steeds een getal gaat vermenigvuldigen met een ander getal dat groter is dan 1, je gaat dus steeds grotere en grotere getallen uitkomen, die niet dichter bijeen gaan liggen, maar juist verder uiteen.

Voor de oppervlakte moet ik ook eventjes denken; maar ik kom dit uit:
voor een gelijkzijdige driehoek met lengte l, is dit de oppervlakte:

Bij elke herhaling van dat procédé, krijg je 4ⁿ kleine driehoekjes erbij, waarvan de lengte steeds een derde is van die van een grotere driehoek.

Als je dus ook van een recursieformule begint:

Om daar nu iets mee te zijn, gaan we ook helemaal naar het begin gaan kijken van die rij, dus A₀ eens gaan bekijken, en die komt overeen met de formule die we hierboven zien (met n = 0 ingevuld en A_-1 = 0 dat stelt ook niets echts voor)).
Je totale oppervlak, is daar dus de sommatie van:

Zoals je ziet is daar het getal in je macht wel kleiner dan 1, dus heb je convergentie (je termen gaan steeds kleiner en kleiner worden, zoals je op je figuur ook al ziet).

Op http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_progression staan nog wat bewerkingen of formules die misschien handig kunnen zijn, alsook de expliciete vorm van een partiële reekssom van je oppervlaktes.

Voor de limiet naar oneindig, kan je dat gaan opzoeken of manueel uitwerken , maar ik kom daar uit op