[WI] PO slak en bonenvermoeden

Deel 2: Bonen zaaien
In deel 1 heb je gekeken naar de vormverandering van stapels blokjes waar je een bepaald proces op uitvoert. Je bent een aantal vermoedens tegengekomen en een aantal vermoedens heb je wellicht kunnen bewijzen. In dit deel ga je een ander proces bestuderen: het zaaien van bonen in een beperkt aantal vakjes. De opdracht is om hier zelf (bijvoorbeeld door te experimenteren) vermoedens over te bedenken en te proberen die te bewijzen. De ervaringen die je met de slak hebt opgedaan zijn nuttig, want ook hier zul je tegen dingen aanlopen als driehoeksgetallen, periodiciteit en stabiliteit. Het zal blijken dat de slakkenrace en het zaaien een beetje op elkaar lijken!
Je begint met n bakjes en M bonen. De bakjes zet je gelijkmatig in een kring en je verdeelt de bonen over de bakjes. Die verdeling hoeft niet eerlijk te zijn: bakjes mogen leeg zijn of bijna alle bonen bevatten. Hier is een voorbeeld met n = 5 en M = 13:
Een zaaistap ziet er nu als volgt uit:
1. Je begint bij het bovenste bakje. Hier haal je alle bonen uit en die houd je in je hand (actie 1).
2. Vervolgens ga je een bakje naar rechts. Hier stop je één boon in. In het volgende bakje doe je ook één boon, enzovoorts. Zo ga je één voor één alle bakjes langs, met de klok mee. Dit doe je net zo lang tot je hand leeg is. Dit is actie 2.
Het resultaat van actie 2 bij het gegeven voorbeeld is dus:
3. De laatste actie (actie 3) is dat je de bakjes één plaats tegen de klok in draait:
Met deze laatste actie zorg je ervoor dat het verder verdelen, die start met actie 1, steeds begint met de inhoud van het bovenste bakje.
Teken, om te oefenen, hoe de volgende twee zaaistappen er uitzien.
wiskunde B-dag 2008 9
Net als bij de slak is het ook hier erg tijdrovend om steeds te moeten tekenen. Daarom wordt ook hier een getalsnotatie gebruikt. Nummer de bakjes van 1 tot n als volgt:
Je kunt nu met een rijtje getallen het aantal bonen per bakje aangeven.
Zo betekent bijvoorbeeld (6,2,0,4,1): er zijn vijf bakjes (n = 5); het eerste bakje bevat 6 bonen, het tweede 2, het derde 0, het vierde 4 en het vijfde bakje 1 boon. Dit is dus precies het voorbeeld waarmee je begonnen bent. De volgende zes stappen zijn:
beginsituatie:
(6,2,0,4,1)
na de eerste stap:
(4,1,5,2,1)
na de tweede stap:
(2,6,3,2,0)
na de derde stap:
(7,4,2,0,0)
na de vierde stap:
(6,4,1,1,1)
na de vijfde stap:
(6,2,2,2,1)
na de zesde stap:
(4,3,3,2,1)
Ook voor het zaaien is weer een Excel-bestand ("zaaien") beschikbaar waarmee je snel zaaiprocessen kunt doorrekenen.
Let erop dat bij gebruik van het Excelsheet, je met het aantal getallen dat je invoert achter ‘beginstituatie:’ ook de waarde van n bepaalt. Gevolg: bij invoer van het startrijtje (4, 5, 3, 2) gebeurt er iets heel anders dan bij invoer van (4, 5, 3, 2, 0). In het eerste geval is n gelijk aan 4, in het tweede gelijk aan 5.
Om je op weg te helpen, volgt hier een verkennende opdracht voor het zaaiproces met vier bakjes (dus n = 4). Houd in je achterhoofd dat je straks zelf vermoedens moet bedenken.
Onderzoek 11.
a De beginsituatie is (4,3,2,1). Hoe zien de volgende stappen eruit? (Gebruik eventueel Excel).
b De beginsituatie is (8,6,4,2). Hoe zien de volgende stappen eruit?
c Geef een stabiele beginsituatie voor het geval dat n = 4 en M een veelvoud is van het vierde driehoeksgetal (4+3+2+1).
d Een voorbeeld van zo’n getal is M = 2 ⋅ (4+3+2+1) = 20. Wat gebeurt er in de bijbehorende beginsituaties (20,0,0,0) en (2,9,9,0)?
e Treedt er in de beginsituatie (21,0,0,0) stabiliteit op?
f Voeg nog een of twee bonen toe. Wat gebeurt er?
Onderzoek 12.
Onderzoek op een vergelijkbare manier het zaaiproces voor 5 bakjes (dus n = 5).

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!
Hoofdonderzoek bij deel 2.
Hoe ontwikkelen de aantallen bonen in de bakjes zich bij het zaaiproces met n bakjes en M bonen? Formuleer vermoedens en probeer die vermoedens te bewijzen.


heeft iemand hier het antwoord op?

[Infidel]

Wat heb je zelf al en wat denk je dat je nog moet weten om het probleem op te lossen? Kortom: wat is de stap waarbij je vastloopt?

Je moet het natuurlijk wel eerst zelf geprobeerd hebben, we gaan je hier geen antwoorden voorkauwen.