[WI] Herhaald partieel integreren - WTF?

[beta_ieks]

Oke mensen, ik probeer altijd zoveel mogelijk zelfstandig te doen, maar dit gaat even mijn petje te boven.

Een vraagje vooraf: hoe weet ik hoe vaak ik partieel moet integreren? Ik zie er eigenlijk geen logica in. Je krijgt twee functies, vervolgens noem je eerst eentje f' en de andere g (f' primitiveer je (omdat die makkelijker te primitiveren is) eerst)). Dan gebruik je g x df = d x fg - f x dg. Nu begin ik hier in de war te raken, wat zal blijken uit de foto.

De volgende opgave (herhaald partieel integreren, zie foto) :

Hier krijgen we dan na 1 keer integreren dus -cos(x) x e^2x + (integraalteken) 2 cos(x) x e^2x dx. Dan neem je weer van de rechterhelft de primitieve. Maar dan krijg je wéér een integraalteken en dan dus die -2sin(x) x 2e^2x. Waarom nu nóg een keer primitiveren?

En waarom die 5 op het eind? Iemand een idee? Het voorbeeld uit het boek met x² sin(x) snap ik nu wel (door te onthouden?), maar ik weet niet wanneer ik dus moet doorgaan met partieel integreren...

[Tochjo]

We zijn op zoek naar een gesloten uitdrukking voor een primitieve van ∫ e^2x∙sin x dx. Na eenmaal partiële integratie toegepast te hebben, is dat nog niet gelukt. Immers, ∫ 2 cos x∙e^2x dx is ook niet eenvoudig te primitiveren. Wel kunnen we daarop opnieuw partiële integratie toepassen, dus dat doen we dan maar.

Door die tweede partiële integratie toe te passen, krijg je in het rechterlid dezelfde integraal als in het linkerlid. Dat komt natuurlijk vanwege het feit dat in de afgeleide (en dus ook in de primitieve) van e^2x steeds een factor e^2x terugkomt en dat je na twee keer afleiden of primitiveren van een sinusfunctie opnieuw een sinusfunctie krijgt. De constante factoren kunnen vanzelfsprekend buiten de integraal gehaald worden.

Je vindt nu een vergelijking van de vorm u = v - 4u. Door aan beide kanten 4u op te tellen, krijgen we 5u = v. Beide kanten door vijf delen geeft nu een uitdrukking voor u, namelijk u = ⅕v. Dit is elementaire algebra die je ongetwijfeld zonder problemen kunt uitvoeren als iemand je vraagt om u = v - 4u op te lossen naar u.

Neem nu u = ∫ e^2x∙sin x dx en v = -cos x∙e^2x + 2 sin x∙e^2x en je ziet hoe men aan het antwoord komt.

Samengevat: je wilt een primitieve vinden van een gegeven integraal. Als je na een keer partieel integreren nog geen gesloten uitdrukking hebt gevonden, kan het nodig zijn om door te gaan met partieel integreren. Dat doe je natuurlijk als dat zinvol lijkt: hier kregen we vrij snel in het rechterlid een integraal die gelijk was aan de integraal die we wilden berekenen, dus konden we met simpele algebra een oplossing vinden.

Ook integralen van de vorm ∫ xⁿ∙sin x dx en ∫ xⁿ∙cos x dx kun je met herhaald partieel integreren oplossen: in elke stap verlaag je de exponent van x met 1 tot je uiteindelijk alleen een goniometrische functie overhoudt. Het zal duidelijk zijn dat je met oefening steeds beter doorkrijgt wanneer herhaald partieel integreren zinvol is en wanneer niet.

Verder kun je beter geen x gebruiken als vermenigvuldigingsteken als je ook een variabele x hebt. Mocht je geen vermenigvuldigingspunt kunnen krijgen, gebruik dan liever * als vermenigvuldigingsteken.

[beta_ieks]

Heel erg bedankt voor je (uitgebreide) antwoord.

Echter snap ik het volgende (nog) niet:

Wat bedoel je met gesloten uitdrukking? Betekent dat dat je moet primitveren tot je een uitdrukking vindt die gelijk is aan de beginintegraal?
Het laatste stukje snap ik nu wel. Alleen valt het kwartje niet m.b.t. de integraal die je dan aan de rechterkant krijgt en wat je daarmee moet doen (en vooral waarom?).

[Tochjo]

In de wiskunde is een gesloten uitdrukking (Engels: closed-form expression) een uitdrukking met een eindig aantal symbolen, waaronder constanten, variabelen, enkele bekende operaties zoals optellen en vermenigvuldigen, en enkele bekende functies zoals worteltrekken en machtsverheffen.

Ter illustratie: de rij van Fibonacci begint met 1, 1 en kun je voortzetten door de twee voorafgaande getallen op te tellen. Je krijgt zo 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... Als we nu het n-de getal in de rij F_n noemen, met F₁ = 1, F₂ = 1, F₃ = 2, enzovoorts, dan kunnen we dat natuurlijk vinden door steeds de voorgaande twee getallen op te tellen. Maar voor grote waarden van n is dat nogal een gedoe. Maar gelukkig kennen we een gesloten uitdrukking voor F_n waarbij dat makkelijk gaat:



Ook bekend is dat het wel mogelijk is om bij een willekeurige tweedegraads vergelijking alle oplossingen te vinden (abc-formule), evenals bij derdegraads vergelijkingen (formule van Cardano). Voor vierdegraads vergelijkingen kan dit ook nog, maar het is bewezen dat het niet mogelijk is om voor vergelijkingen van graad vijf en hoger zo'n gesloten uitdrukking te vinden voor de oplossingen.

Zolang er in het rechterlid nog een integraal staat, hebben we nog geen gesloten uitdrukking voor ∫ e^2x∙sin x dx gevonden. De grap is echter dat na twee keer partieel integreren de integraal rechts gelijk is (althans, door constanten voor het integraalteken te halen gelijk kan worden) aan de integraal links. Door nu aan beide kanten deze integraal er een geschikt aantal keer eraf te halen of erbij op te tellen, en geschikt is dan natuurlijk net zo vaak tot hij rechts niet meer voorkomt, kun je toch een gesloten uitdrukking vinden voor ∫ e^2x∙sin x dx.

Dit is een aanpak die soms succes heeft, en door oefening leer je te herkennen in welke gevallen dat zo is. Al hoop ik dat je inmiddels wel begrijpt waarom daarbij vaak exponentiële en goniometrische functies om te hoek komen kijken: in die gevallen is de (tweede) afgeleide nauw verwant aan de functie zelf.

[beta_ieks]

Hartelijk dank voor je antwoord! Ik begin het onderhand wel te begrijpen, ik ga er nog wel mee aan de slag, ik wil het probleemloos kunnen doen.