Onderzoek matrices

[Baron Sengir]

Gegeven: lineair stelsel met onbekenden x1 x2 en x3 in een matrix

1 2 a | 0
1 a 2 | 3
a 4 4 | b

Voor welke a en b heeft dit stelsel geen oplossingen?
idem, maar oneindig veel oplossingen
" " 1 oplossing
Los op met a=-4 en b=-6

[mathfreak]

Uit de eerste vergelijking volgt: x1=-2*x2-a*x3. Invullen in de tweede vergelijking geeft: (a-2)x2+(2-a)x3=3 en invullen in de derde vergelijking geeft: (4-2*a)x2+(4-a^2)x3=b. Deze 2 vergelijkingen vormen het stelsel
a-2 2-a | 3
4-2*a 4-a^2 |b
Vermenigvuldig de eerste vergelijking van dit stelsel met -2 en tel beide vergelijkingen op. Dit geeft: (-a^2+2*a)x3=b-6, dus
x3=(b-6)/(-a^2+2*a). -a^2+2*a heeft de waarde 0 voor -a(a-2)=0, dus a=0 of a=2. Voor a=0 en b ongelijk aan 6 of of a=2 en b ongelijk aan 6 heeft dit stelsel, en dus ook het oorspronkelijke stelsel, geen oplossingen. Voor a=0 en b=6 of a=2 en b=6 heeft het oorspronkelijke stelsel oneindig veel oplossingen en voor a ongelijk 0 en a ongelijk 2 heeft het oorspronkelijke stelsel 1 oplossing, waarbij b alle waarden kan aannemen.
a=-4 en b=-6 geeft: x3=-12/(-16-8)=-12/24=1/2. Uit de vergelijking -6*x2-2*x3=3 volgt nu: -6*x2-1=3, dus -6*x2=4, dus x2=-4/6=-2/3. Invullen in x1=-2*x2+4*x3 geeft: x1=-2*-2/3+4*1/2=1 1/3+2=3 1/3.