Hulp nodig....(wiskunde olympiade..)

[Marow]

Ik heb problemen met de volgende opgaven kan iemand me misschien helpen.......

Bepaal alle gehele oplossingen van de vergelijking:

3^x + 4^y = 5^z



Bepaal alle oneven getallen n zodanig dat

n | (3^n + 1)

Bij voorbaat dank.....

[Kubstudent]

Marow schreef:
Ik heb problemen met de volgende opgaven kan iemand me misschien helpen.......

Bepaal alle gehele oplossingen van de vergelijking:

3^x + 4^y = 5^z

HINT: Stelling van Pythagoras.

[Marow]

Ja nee huhu .....behalve x,y,z = 2.....maar dan zijn er volgens mij geen andere oplossingen maar dat kan ik niet echt aantonen (zonder computer dan) en dat zou ik dus wel moeten kunnen............

[mathfreak]

Marow schreef:
[BBepaal alle oneven getallen n zodanig dat

n | (3^n + 1)[/B]

n=1 is in ieder geval een oplossing omdat 1 deler van ieder getal is. Laat n=2*k+1 een gegeven getal zijn, dan geldt: 3ⁿ+1=3^2*k+1+1=3*9^k+1. Dit geeft als voorwaarde: 2*k+1|3*9^k+1, ofwel 3*9^k+1=0 mod (2*k+1), dus 3*9^k=-1 mod (2*k+1)=2*k+2 mod (2*k+1). Het enige wat je nu nog hoeft te doen is die waarden van k zien te vinden waarvoor dit geldt. Als dat is gelukt heb je tevens de gevraagde waarden voor n gevonden. Je kunt hierbij gebruik maken van de volgende regels:
a=b mod m en c=d mod m=>a*c=b*d mod m
a=b mod m=>aⁿ=bⁿ mod m.

[Marow]

Ja maar dan.......

Dan heb je dus.......

3*9^k = 2*k mod (2*k+1)

(en niet (3*9k) = (2*k + 2) mod (2*k+1) volgens mij ...)

....... en wat doe je daar verder mee want toen liep ik een beetje vast....

[mathfreak]

Marow schreef:
Ja maar dan.......

Dan heb je dus.......

3*9^k = 2*k mod (2*k+1)

(en niet (3*9k) = (2*k + 2) mod (2*k+1) volgens mij ...)

....... en wat doe je daar verder mee want toen liep ik een beetje vast....

Voor k=0 vind je n=1 en 3=0 mod 1, wat correct is. k=1 geeft: 3*9¹=27 en 2*k+1=3. Er zou moeten gelden: 27=2 mod 3, wat echter niet juist is. Neem nu k=2, 3,... en controleer of aan de voorwaarde
3*9^k=2*k mod (2*k+1) is voldaan. Indien dat zo is heb je de bijbehorende n=2*k+1 gevonden die een deler is van 3ⁿ+1.

[Marow]

Ja maar ik kan moeilijk alle natuurlijke getallen gaan zitten invullen om te kijken om alle oplossingen te vinden........

[mathfreak]

Marow schreef:
Ja maar ik kan moeilijk alle natuurlijke getallen gaan zitten invullen om te kijken om alle oplossingen te vinden........

Je zult na het invullen van een aantal getallen waarschijnlijk wel ontdekken welke getallen er precies voldoen omdat ze de termen van een rekenkundige rij vormen, dus als je weet hoe zo'n getal n er precies uitziet heb je de oplossing gevonden.