integraal berekenen

[azitoga]

hoe bereken je de (onbepaalde) integraal van

5·3^x - 4·2^x
——————
5^x

[mathfreak]

(5*3^x-4*2^x)/5^x=5*(3/5)^x-4*(2/5)^x, dus dit geeft de primitieve
5*(3/5)^x/ln(3/5)-4*(2/5)^x/ln(2/5).

[damaetas]

is niet zo heel moeilijk (vanaf da je hem doorhebt natuurlijk heb ik ook altijd problemen mee)

je splitst gewoon de breuk op

je opgave wordt dan:

(integraal van (5.3^x)/(5^x) ) - (de integraal van (4.2^x)/(5^x) )

constanten mag je uit de integraal halen dus:

5*(integraal van (3^x)/(5^x) ) - 4*(de integraal van (2^x)/(5^x) )

(3^x)/(5^x) wordt (3/5)^x
en
(2^x)/(5^x) wordt (2/5)^x


daarvoor heb je een basisformule: integraal van a^x = (a^x)/(ln a) + Cte
die moet je dan 2 keer toepassen

hebje'm?

groetjes,
Eva

[azitoga]

merci'kes!!! ik heb hem helemaal nu,
maar er is nog een opgave waar ik niet uitkom:

de integraal van (3-x²)/(1+x²)


ik hoop dat deze even gemakkelijk blijkt te zijn als de vorige...
alvast bedankt!!

[Thyrf]

azitoga schreef:
merci'kes!!! ik heb hem helemaal nu,
maar er is nog een opgave waar ik niet uitkom:

de integraal van (3-x²)/(1+x²)


ik hoop dat deze even gemakkelijk blijkt te zijn als de vorige...
alvast bedankt!!

ook deze is niet moeilijk

(3-x²)/(1+x²) = (4-(1+x²))/(1+x²) = 4/(1+x²) - 1

int[(4/(1+x²) - 1] =

4 * int[1/(1+x²)] - int[1] =

4 * arctan(x) - x + C

[damaetas]

Offtopic: gegroet Leuven, doet dat goed he diene wiskunde

[azitoga]

ontopic: nog eens bedankt, ik kwam er zelf echt niet uit (heb geen fantastische wiskunde-knobbel, ma ik doe mijn best he!!)

offtopic: studeert ge in Leuven of zo??

[damaetas]

azitoga schreef:
offtopic: studeert ge in Leuven of zo??

jop, geologie (ok das dus meer heverlee )

[azitoga]

jop, geologie

dat weten we dan ook weer al...


maar nu dus terug ontopic: ik heb nog een integraaltje voor je!!

hoe bereken je de integraal van 1/(1+4x²)

tis met substitutie, maar wat ik vind komt niet uit met de uitkomst die achteraan in het boek staat
(ik kom uit: 1/4. ln (abs.w. van (1+4x²)) +c ,
in het boek: 1/2 . bgtg 2x + c )

[azitoga]

aiaiai, het wordt hier steeds moeilijker
dus als je toch bezig bent, kan je deze dan ook eens bekeijken aub ??

integraal van 1/((1+x²)*bgtg x)

nog maar eens heel hard bedankt !!!

[damaetas]

azitoga schreef:
dat weten we dan ook weer al...


maar nu dus terug ontopic: ik heb nog een integraaltje voor je!!

hoe bereken je de integraal van 1/(1+4x²)

[/I]

u = 2x
du = 2 dx
=>> int(1/(1+4x²)) = 1/2int(1/(1+u²))


(euhm, denk je niet dat je es wat extra oefeningen kan vragen voor integralen aan je leraar, of wat bijles. want dit zijn echt geen moeilijke opdrachten. en wij kunnen ze niet blijven maken voor jou, op het examen moet je het ook zelf.)

[damaetas]

azitoga schreef:
integraal van 1/((1+x²)*bgtg x)

u = bgtgx
du = 1/(1+x²) dx

[azitoga]

damaetas schreef:

(euhm, denk je niet dat je es wat extra oefeningen kan vragen voor integralen aan je leraar, of wat bijles. want dit zijn echt geen moeilijke opdrachten. en wij kunnen ze niet blijven maken voor jou, op het examen moet je het ook zelf.)

dit zijn oefeningen die de leraar heeft opgegeven om morgen in de les te maken, we moeten deze zelfstandig maken, de leraar geeft een beetje theorie en de rest moet je zelf maar ontdekken, en het probleem is dat ik niet zo snel werk als de rest van de klas en zo hoop ik toch een beetje bij te blijven,
het zijn dus oefeningen die ik in principe ook aan de leraar kan vragen morgen, maar aangezien ik niet de enige in de klas ben met vragen en dus altijd een hele tijd moet wachten (hij legt zelden een oefening uit voor de hele klas),
dus probeer ik een aantal oefeningen op voorhand te maken (en als ik steeds dezelfde fout maak, hier uitleg te vragen), zodat ik niet té veel uitleg moet vragen en in de klas ook een beetje door kan werken... snappie?
als ik zie hoe gemakkelijk de oefeningen zijn als jij ze hebt opgelost, denk ik ook wel, hoe kan ik nu zo dom zijn, maar het zijn dus oefeningen die niemand me ooit heeft uitgelegd, en die ik zelf maar moet zien op te lossen, wat nu niet altijd even gemakkelijk is voor mij

[damaetas]

ja dat snap ik wel. irritante leraar zeg
ik zal ff reklame maken voor iemand, die dat vast niet erg vindt
arno.van.asseldonk@hetnet.nl dat is 'mathfreak' hier op het forum en hij geeft zo nbtje wiskunde bijles via e-mail. ik denk dat hij je heel goed de basisregels voor het maken van integratie-oefeningen kan uitleggen.
mijn educatieve waarden zijn niet zo goed als de zijne

ps: mathfreak, als je't wel erg vindt: sorry dan, ik zal het nooit meer doen.

[azitoga]

het adres staat genoteerd,...
@damaetas: nog eens bedankt voor de hulp trouwens
en dat van die irritante leraar: daar ben ik het volledig mee eens!! kan die nu eens niet gewoon les geven... die methode is misschien goed voor mensen die direct alles snappen, en een mega-wiskunde brein bezitten of zo, maar niet voor mij dus

gelukkig veranderd hij af en toe van methode, nu zal hij waarschijnlijk weer een maand zo verder gaan, soms moeten we volldedig zelfstandig werken, soms moeten we om de beurt een oefening aan het bordkomen maken (stress!), of soms overlaadt hij ond een hele hoop theorie en daar heb ik 6 uur in de week les van, pfffffff

[mathfreak]

damaetas schreef:

ik zal ff reklame maken voor iemand, die dat vast niet erg vindt
arno.van.asseldonk@hetnet.nl dat is 'mathfreak' hier op het forum en hij geeft zo nbtje wiskunde bijles via e-mail. ik denk dat hij je heel goed de basisregels voor het maken van integratie-oefeningen kan uitleggen.
mijn educatieve waarden zijn niet zo goed als de zijne

ps: mathfreak, als je't wel erg vindt: sorry dan, ik zal het nooit meer doen.

Nee hoor, helemaal niet. Ik neem aan dat azitoga een dezer dagen wel contact met me zal opnemen voor verdere hulp.

@azitoga: Om 1/(1+4x²) te integreren pas je de substitutie 2*x=u toe. Dit geeft: du=2*dx, dus dx=1/2*du. Je krijgt dan de integraal van
1/2*1/(1+u²) die de waarde 1/2*bgtg(u)=1/2*bgtg(2*x) heeft. In Nederland spreken we van de arctangens, vandaar dat wij in plaats daarvan de notatie arctan gebruiken.
Om 1/((1+x²)*bgtg x) te integreren kun je gebruik maken van de regel dat de integraal van f'(x)/f(x) gelijk is aan ln|f(x)|.
Omdat in dit geval geldt: f(x)=bgtg(x) en f'(x)=1/(1+x²) vinden we als integraal dus de waarde ln|bgtg(x)|.

[azitoga]

JEEEEEEEEEEJ!!! ik had een 10/10 op mijn test van integralen berekenen (dmv splitsing en substitutie), dus ik denk dat ik dit nu wel helemaal door heb!!
nogmaals 1000x bedankt voor de hulp!!!

nu nog leren partieel integreren

[damaetas]

azitoga schreef:
JEEEEEEEEEEJ!!! ik had een 10/10 op mijn test van integralen berekenen (dmv splitsing en substitutie), dus ik denk dat ik dit nu wel helemaal door heb!!
nogmaals 1000x bedankt voor de hulp!!!

nu nog leren partieel integreren

eej, goeie
proficiat

[Thyrf]

azitoga schreef:
JEEEEEEEEEEJ!!! ik had een 10/10 op mijn test van integralen berekenen (dmv splitsing en substitutie), dus ik denk dat ik dit nu wel helemaal door heb!!
nogmaals 1000x bedankt voor de hulp!!!

nu nog leren partieel integreren

produktregel van differentieren, omgekeerd toepassen

= partieel integreren

[mathfreak]

Thyrf schreef:
kettingregel van differentieren, omgekeerd toepassen

= partieel integreren

Ik neem aan dat je in plaats van de ketingregel de produktregel bedoelt.

@azitoga: Met behulp van de definitie d(f(x))=f'(x)*dx kunnen we de produktregel voor het differentiëren als volgt schrijven:
d(f(x)*g(x))=(f'(x)*g(x)+g'(x)*f(x))dx
=f'(x)*g(x)*dx+g'(x)*f(x)*dx.
Verwisseling van linker- en rechterlid en aftrekking van f'(x)*g(x)*dx levert dan: g'(x)*f(x)*dx=d(f(x)*g(x))-f'(x)*g(x)*dx. Door nu links en rechts te integreren ontstaat de regel voor partieel integreren, waarbij de integraal van d(f(x)*g(x)) de waarde f(x)*g(x) oplevert.

[Thyrf]

mathfreak schreef:
Ik neem aan dat je in plaats van de ketingregel de produktregel bedoelt.

idd

schaam

[azitoga]

mathfreak schreef:

@azitoga: Met behulp van de definitie d(f(x))=f'(x)*dx kunnen we de produktregel voor het differentiëren als volgt schrijven:
d(f(x)*g(x))=(f'(x)*g(x)+g'(x)*f(x))dx
=f'(x)*g(x)*dx+g'(x)*f(x)*dx.
Verwisseling van linker- en rechterlid en aftrekking van f'(x)*g(x)*dx levert dan: g'(x)*f(x)*dx=d(f(x)*g(x))-f'(x)*g(x)*dx. Door nu links en rechts te integreren ontstaat de regel voor partieel integreren, waarbij de integraal van d(f(x)*g(x)) de waarde f(x)*g(x) oplevert.

[azitoga]

ok, hier gaan we weer...
ik weet niet helemaal hoe ik deze moet uitwerken:

de integraal van 1/ (x³-x)


Dit heb ik al :
eerst ontbinden, dan heb je: 1/((x.(x+1).(x-1))
dat is dan gelijk aan= A/x + B/(x+1) + C/(x-1)
en dan bekom je dit :
1 = A(x+1)*(x-1) + B*(x-1)*x + C*(x+1)*x

B en C kan je gemakkelijk berekenen door de nulpunten in te vullen:
x= -1 => 2B=1 => B=1/2
x=1 => 2C=1 => c=1/2


(ik denk/hoop dat dit wel klopt)
Maar hoe bereken je A ??

[azitoga]

oeps, ik zie het al,
je moet gewoon x gelijkstellen aan 0 en dan vind je het

de integraal is dan:
1/2*ln [x²-1] - ln [x]

[azitoga]

maar deze, aiaiai, ik zit er al een half uur op te kijken

integraal van 1/(x³-x²)

ontbinden in : 1/(x²*(x+1))

en dan??

[mathfreak]

azitoga schreef:
maar deze, aiaiai, ik zit er al een half uur op te kijken

integraal van 1/(x³-x²)

ontbinden in : 1/(x²*(x+1))

en dan??

Je ontbinding is niet juist. Het moet zijn:1/(x³-x²)=1/(x²(x-1)). Pas nu partiële breuksplitsing toe door dit te schrijven als (a*x+b)/x² + c/(x-1), dan geldt: (a*x+b)/x² + c/(x-1)=[(a*x+b)(x-1)+c*x²]/(x²(x-1))
=1/(x²(x-1)). Dit geeft: (a*x+b)(x-1)+c*x²=1, dus a+c=0 en -a+b=0 en
-b=1. Dit geeft: b=-1, a=b=-1 en c=-a=1,
dus 1/(x²(x-1))=(-x-1))/x² +1/(x-1)=-x/x² -1/x² +1/(x-1)
=-1/x -1/x² +1/(x-1). Door nu termsgewijs te integreren vind je de gevraagde integraal.

[azitoga]

Ik heb maandag een grote herhalingstest van wiskunde, over alle technieken die we hebben gezien om integralen uit te rekenen... ik ben nu zoveel mogelijk oefeningen aan het maken, maar er zijn er een aantal waar ik niet aan uit kan, dus hopelijk kan hier iemand me helpen!!

dus:
hoe bereken je de integraal van x*(e^4x²)
(partieel integreren??? )

[mathfreak]

azitoga schreef:
Hoe bereken je de integraal van x*(e^4x²)
(partieel integreren??? )

Maak gebruik van de differentiaal d(a*x²)=2*a*x*dx. Neem a=1/2, dan is x*e^4*x²*dx te schrijven als e^4*x²*d(1/2*x²). Pas vervolgens de substitutie 1/2*x²=t toe, dan gaat e^4*x²*d(1/2*x²) over in e^8*t*dt, wat als integraal 1/8*e^8*t=1/8*e^4*x² oplevert.

[azitoga]

integraal van (t+ bgcos(2t)) / vkw(1-4t²)

[mathfreak]

azitoga schreef:
integraal van (t+ bgcos(2t)) / vkw(1-4t²)

Splits (t+ bgcos(2*t))/sqrt((1-4*t²) op in t/sqrt(1-4*t²) + bgcos(2*t)/sqrt((1-4*t²) en gebruik de volgende eigenschappen:
- sqrt(1-4*t²)=(1-4*t²)^1/2 heeft als afgeleide de waarde
-8*t*1/2*(1-4*t²)^-1/2=-4*t/sqrt(1-4*t²)
- (bgcos(2t))² heeft als afgeleide de waarde
2*2*bgcos(2t)*-1/sqrt(1-4*t²)=-4*bgcos(2t)/sqrt(1-4*t²).
Op grond van deze 2 eigenschappen vinden we voor de gevraagde integraal de waarde -1/4(sqrt(1-4*t²)+(bgcos(2t))²).