Imaginaire getallen, wat zijn dat nou precies?

[Upior]

Ik heb hier en daar vaag wel eens gehoord/gelezen over imaginaire getallen. Maar dat wat ik las erover was meestal weer te geavanceerd (ik zit nog maar in 5 VWO en heb het nog niet gehad).. Nouja, gebruik dit topic gewoon voor alles wat met imaginaire getallen te maken heeft. Ik vind wiskunde heel interessant, hoewel ik er niet zo goed ben helaas.

Surprise me!

[[Pierewiet]]

Het is gebleken dat in de verzameling van de reële getallen niet toereikend was om elke vergelijking op te lossen zoals x^2=-4, omdat het kwadraat van een reëel getal noit negatief kan zijn. Om toch dit soort vergelijkingen op te kunnen lossen is de verzameling R uitgebreid met de vezameling C van de complexze getallen waarin dit wel mogelijk is.
Binnen deze verzsameling C bestaan er in ieder geval getallen waarvan het kwadraat negatief is.
Het denkbeeldige, of imaginaire getal waarvan het kwadraat -1 is wordt de imainaire eenheid genoemd, gedefinieerd las: i^2=-1.
Met i rekenen we op eenzelfde manier als met reële getallen
Voorbeeld:

i^9=(i^2)^4i=(-1)^4i=i
i^6=(i^2)^3=(-1)^3=-1
i^7=(i^2)^3i=(-1)^3i=-i
1/i=i/i^2=i/-1=-i etc etc.

De product van een reëel getal met de imainaire eenheid i noemen we een zuiver imaginair getal. Zoals 2i, -5i, ½isqrt2.

De som v.e.reëel getal en een imaginair getal noemen we een complex getal. Hiervoor gebruiken we meestal de letter z, voor z kunnen we dus schrijven a+bi (met a,b element van R).
Het reële deel van z, Re(z), is gelijk aan a, het imaginaire deel van z, Im(z), is gelijk aan b.
Voorbeeld:
z=1+2i, z=-2-5i, z=¼=3+i, z=3-½isqrt2.

Dan volgen er allerlei rekenregels met imaginaire getallen.....etc

Kijk ook op:

http://www.wisfaq.nl bijn[zoeken] imaginaire getallen intikken

http://mathworld.wolfram.com [zoeken] complex numbers

MvG P.

[GinnyPig]

sin(x) = 1/(2*i) * ( e^i*x - e^-i*x )

cos(x) = 1/2 * ( e^i*x + e^-i*x )

Denk daar maar es over na

[barkrukkie]

Iets wat wiskundigen hebben verzonnen om nog moeilijker te kunnen doen

[Upior]

Ik hoop eigenlijk dat Mathfreak iemand in zijn ogen corrigeert, en dat die gene daar fel op in gaat. Hebben we een leuke discussie (zoals ik die altijd graag volg hier)

[Upior]

maaaaarrr dat zit er helaas niet in denk ik

[mathfreak]

Upior schreef:
Ik hoop eigenlijk dat Mathfreak iemand in zijn ogen corrigeert, en dat die gene daar fel op in gaat. Hebben we een leuke discussie (zoals ik die altijd graag volg hier)
maaaaarrr dat zit er helaas niet in denk ik

Helaas niet, nee...

mathfreak schreef:
Helaas niet, nee...

Ik dacht dat mathfreak hier wel wat zinnigs kon melden
ik vind het zelf ook wel interessant (zolang ik nog maar niet VERPLICHT ben ermee te moeten werken)