*zit weer met een probleem*

[Rob]

Kan weer een formule niet aantonen. >_> Ik stel het erg op prijs als iemand me (weer) kan helpen. ^_^

Opgave:

Bij het openen van een garagedeur komt de onderkant van de deur verticaal omhoog, terwijl de bovenkant langs het plafond naar binnen schijft. De garagadeur is 2,5 m hoog, dus AB = 2,5.

We vragen ons af hoe ver de deur maximaal naar binne komt op een hoogte van 1,5 m boven de grond. Zie figuur.



Noem de afstand van A tot de grond x meter. Voor d geldt de formule

d = ((1,5 - x) * √5x-x²) / 2,5 - x.

Toon aan dat deze formule juist is.

En dat lukt me dus niet. Enig idee?

edit: het onderste punt van de deur is A (dat punt op de stippellijn), en het bovenste punt van de deur is B (het punt vlak onder het bruine vlak).

[mathfreak]

Noem de eindpunten van de deur in de gekantelde positie op 1,5 meter hoogte C en D, noem het snijpunt van AB met CD het punt E, noem het punt dat 2,5-x meter boven A ligt F en het punt op CD dat 1,5-x meter boven A ligt G en maak gebruik van het feit dat driehoek ABF en driehoek AEG gelijkvormig zijn. Aan de hand daarvan is DG=d te berekenen.

[Rob]

Ik vind het tof van je dat je het probeert... maar eruitkomen doe ik nog steeds niet. Ik zie de gelijkvormigheid bv ook niet, maar wel als je ABC, waarbij C de linkerbovenhoek is, vergelijkt met ADE, waar de D linkerkant van lijnstuk d is die snijdt met AC, en E de rechterkant van het lijnstuk d die snijdt met BA. Maar dan nog zie ik 'em niet.

edit: laat maar. Ik heb hem. ^__^

[mathfreak]

wabbitslayer schreef:
Ik vind het tof van je dat je het probeert... maar eruitkomen doe ik nog steeds niet. Ik zie de gelijkvormigheid bv ook niet, maar wel als je ABC, waarbij C de linkerbovenhoek is, vergelijkt met ADE, waar de D linkerkant van lijnstuk d is die snijdt met AC, en E de rechterkant van het lijnstuk d die snijdt met BA. Maar dan nog zie ik 'em niet.

edit: laat maar. Ik heb hem. ^__^

Uit het feit dat driehoek ABF en driehoek AEG gelijkvormig zijn volgt: AB/AE=AF/AG=BF/EG. Dat ze inderdaad gelijkvormig zijn zit hem in het feit dat hoek GAE en hoek FAB gelijk zijn. Uit het feit dat driehoek ABF en driehoek AEG allebei rechthoekig zijn volgt dan ook dat hoek GEA en hoek FBA gelijk zijn. Omdat driehoek ABF en driehoek AEG dus overeenkomstige hoeken hebben volgt daaruit dat ze gelijkvormig zijn en dat dus de boven genoemde evenredigheid tussen de zijden geldt.
Kun je misschien laten zien hoe je de formule voor d hebt gevonden?

[Rob]

Erm... Ben uitgegaan van een driehoek ABC, waarbij C in rechtboven punt A staat, waardoor er een rechthoekige driehoek wordt gevormd.



Daarna BC uitdrukken in x met behulp van Pythagoras.

AC = 2,5 - x
BC = onbekend
AB = 2,5 m

AB² = AC² + BC²
2,5² = (2,5 - x)² + BC²
BC² = 2,5² - (2,5 - x)²
BC² = 6,25 - (2,5 - x) * (2,5 - x)
BC² = 6,25 - 6,25 - 2,5x - 2,5x + x²
BC² = -5x + x²
BC = √(-5x + x²)

AC is gelijkvormig met AE in de verhouding 2,5 - x / 1, 5 - x
BC is gelijkvormig met d in de verhouding van √(-5x + x²) / d



kruiselings vermenigvuldigen...

d * (2,5 - x) / (1,5 - x) * √(-5x + x²)

d = ((1,5 - x) * √5x-x²) / 2,5 - x.

Ik snap nu dus niet hoe +x² -x² wordt en -5x +5x... o.O misschien toch iets fout gedaan...?

[mathfreak]

wabbitslayer schreef:
Erm... Ben uitgegaan van een driehoek ABC, waarbij C in rechtboven punt A staat, waardoor er een rechthoekige driehoek wordt gevormd.



Daarna BC uitdrukken in x met behulp van Pythagoras.

AC = 2,5 - x
BC = onbekend
AB = 2,5 m

AB² = AC² + BC²
2,5² = (2,5 - x)² + BC²
BC² = 2,5² - (2,5 - x)²
BC² = 6,25 - (2,5 - x) * (2,5 - x)
BC² = 6,25 - 6,25 - 2,5x - 2,5x + x²
BC² = -5x + x²
BC = √(-5x + x²)

AC is gelijkvormig met AE in de verhouding 2,5 - x / 1, 5 - x
BC is gelijkvormig met d in de verhouding van √(-5x + x²) / d



kruiselings vermenigvuldigen...

d * (2,5 - x) / (1,5 - x) * √(-5x + x²)

d = ((1,5 - x) * √5x-x²) / 2,5 - x.

Ik snap nu dus niet hoe +x² -x² wordt en -5x +5x... o.O misschien toch iets fout gedaan...?

Je fout zit hem in de uitwerking van BC² = 6,25 - (2,5 - x) * (2,5 - x). Dit moet namelijk worden uitgewerkt als
6,25 - (2,5 - x)²=6,25 - (6,26-5*x+x²)=6,25 - 6,25+5*x-x²=5*x-x², dus vind je de evenredigheid (2,5-x)/(1,5-x)=sqrt(5*x--x²)/d, wat na kruislings vermenigvuldigen en delen door 2,5-x de gevraagde formule
d=(1,5-x)sqrt(5*x--x²)/(2,5-x) geeft.

[Rob]

Ah, ok. Erg bedankt. Nu klopt ie.

Ga ik nu ff de afgeleide proberen te bepalen zonder m'n grafische rekenmachine. ^_^;