PO wiskunde

[marine289]

Ik zit met een probleem: voor school moeten we een PO wiskunde maken over de elementen van Euclides.
we moeten daarbij een bewijs leveren van de stelling van Menelaos of de stelling van Ceva. Nou zijn er wel bewijzen te vinden op internet, maar die zijn vaak in het engels, en moeilijk te begrijpen.
Mijn vraag is dus of iemand een eenvoudig bewijs heeft van de stelling van Ceva OF van Menelaos. bedankt alvast

[mathfreak]

Laten we beginnen met de stelling van Menelaos. Hiervoor hebben we het begrip transversaal van een driehoek nodig. Een transversaal van een driehoek is een lijn die de 3 zijden van een driehoek (of de verlengden daarvan) snijdt en niet door een hoekpunt gaat. Laat AB de basis van driehoek ABC zijn en laat AR het verlengde zijn van AB. Laat P een punt op AC zijn. Trek nu de lijn door P en R en noem het snijpunt van lijn PR met BC het punt Q, dan stelt de lijn door P, Q en R een transversaal van driehoek ABC voor. We moeten nu bewijzen: BP*CQ*AR=CP*AQ*BR.
Het bewijs verloopt als volgt: laat D een punt op PR zijn met de eigenschap dat BD en AC evenwijdig zijn, dan zijn driehoek BPD en CPQ gelijkvormig, dus BP/CP=BD/CQ, dus BP*CQ=BD*CP. Driehoek AQR is gelijkvormig met driehoek BDR, dus AR/BR=AQ/BD, dus AR*BD=AQ*BR. Er geldt nu: BP*CQ*AR*BD=BD*CP*AQ*BR, waaruit de gevraagde eigenschap volgt en de stelling dus is bewezen.
Voor de stelling van de Ceva hebben we het begrip concurrente lijn nodig. Lijnen heten concurrent als ze een gemeenschappelijk snijpunt hebben. Laat AB de basis van driehoek ABC zijn en laat P een punt op AC zijn en Q een punt op BC, waarbij AP en BQ elkaar snijden in S. Het snijpunt van lijn CS met AB noemen we R, zodat AP, BQ en CR concurrent zijn. We moeten nu bewijzen: BP*CQ*AR=CP*AQ*BR.
Het bewijs verloopt als volgt: pas op de transversaal ASP de stelling van Menelaos toe, dan geldt: BP*CS*AR=CP*RS*AB. Toepassen van de stelling van Menelaos op de transversaal BSQ levert: CQ*RS*AB=AQ*BR*CS. Er geldt nu: BP*CS*AR*CQ*RS*AB=CP*RS*AB*AQ*BR*CS, waaruit de gevraagde eigenschap volgt en de stelling dus is bewezen.

[marine289]

Bedankt voor de snelle reply en het antwoord ;-)