Wat is groter : 300! of 100^300 ???

[born2dance]

Met uitleg erbij uiteraard...

moet op een wiskunidge manier uitgerekend worden...

[Equus canis]

nou, 300! is volgens mij 300*299*298....*1 en 100^300 is 100*100*100...*100.
Reken dit maar uit en dan zie je welke groter is!

[lucy48]

Ik weet het niet zeker maar volgens mij is
300! = 300*299*298*297*...*3*2*1
en 100^300 = 100*100*100*100 enz dus dat 300 keer, dat is honders met 300 nullen er achter
Het lijkt me dat het laatste op een groter getal uitkomt
De rekenmachine gaat alleen helaas niet zo ver, dus je zult het met de hand uit moeten rekenen

[tý]

300! = 3,060575122164406360353704612973e+614

100^300 = 1e+600

[tý]

uitgerekend met Windows Rekenmachine

[pol]

Neem de natuurlijke logaritme van beide, en vergelijk die getallen.

ln(100^300) = 300*ln(100) = 1382 (niet exact).

Op ln(300!) pas je de formule van Stirling toe.

ln(x!) = x*ln x - x (deze formule is niet exact, maar de fout erop wordt kleiner voor grotere x. de waarde uit deze formule is iets kleiner dan de werkelijke waarde, dus als deze waarde groter is dan ln(100^300), dan is de werkelijke waarde dat zeker ).

ln(300!) = 300*ln(300) - 300 = 1411 (niet exact).

Dus 300! is inderdaad groter dan 100^300.

(En dit allemaal met een eenvoudige rekenmachine).

[Tampert]

300! = 300*299*298*...*3*2*1
100^300 = 100*100*100*100*...*100*100

als je nu 300! deelt door 100! dan krijg je:
300*299*298*...*104*103*102*101

de kleinste term van dit product is 101 en het product telt 200 termen

als je 100¹⁰⁰ deelt door 100! krijg je:
100/100*100/99*100/98*...*100/3*100/2*100/1

de grootste term van dit product is 100 en dit product telt 100 factoren

De tweede begint dus al kleiner en heeft ook nog eens minder factoren om het in te halen dus die is het kleinst. Daaruit volgt dan weer dat 100^300 kleiner was dan 300!

[hofje]

300!= 3060575122164406360353704612972686293885888041735769994167767412594765 3317671686746551529142247757334993914788870172636886426390775900315422 6842927906974559841225476930271954604008012215776252176854255965356903 5067887252643218962642993652045764488303889097539434896254360532259807 7652127082243763944912012867867536830571229368194364995646049816645022 7716500185176546469340112226034729724066333258583506870150169794168850 3537521375549102891264071571548302822849379526365801452352331569364822 3343679925459409527682060806223281238738388081704960000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000 =3.06*10^614
100^300=10^600
effe uitgerekent op een saaie woensdagochtend...

nu serieus:
ln(100^300)=600*ln(10)=600 / log(e)
ln(300!)=som_{i=1..300} ln(i)=som_{i=2..300}
dit is op te vatten als een integraal waarbij de dx'jes 1 breed zijn.
Omdat de fie y=ln(x) strikt stijgend is geldt: som_{i=1..(n-1)} ln(i) < int_{1<x<n} ( ln(x)dx ) < som_{i=2..n} ln(i)
dus: ln(300!) = som_{i=2..300} > ln(i) int_{1<x<300} ( ln(x)dx ) = 300*ln(300) = 300*log(300)/log(e) = 600/log(e)+log(3)/log(e) > 600/log(e) = ln(100^300) QED...

[Joostx]

born2dance schreef op 14-04-2003 @ 16:18:
Met uitleg erbij uiteraard...

moet op een wiskunidge manier uitgerekend worden...

Grappig dat iedereen naar de natuurlijke logaritme grijpt, terwijl de 10-logaritme wat meer voor de hand ligt.

Log (100) = 2
100 = 10 x 10
Log (100) = Log(10x10) = Log(10) + Log(10) = 1 + 1 = 2
Algemeen: Log(axb) = Log(a) + Log(b)
en ook Log(a^b) = Log(a) + Log(a) + ..... Log(a) totaal b termen
of Log(a^b) = bx Log(a).

100^300 neem de logaritme:
Log(100^300) = 300 x Log(100) (eventueel 300 x 2 = 600 )
Log (300!) = Log( 300x299x298x ......x2x1) =
Log(300) + Log(299) + Log(298)+ ..... + Log(2) + Log(1)
Aangezien Log(1)=0 kunnen we zeggen dat er 300 termen staan.


We hebben nu de 'ongelijkheid'

Sommeer op je GR Log(X) voor x=1 t/m 300
Antwoord: 614,48....
Dus 300! > 100^300

Joost

[Somari]

voor als je niet heeeeel moeilijk wil rekenen:

100^300 = 10^600
dat is dus een 1 met 600 nullen erachter
300! blijft 200 keer vermenigvuldigen met een getal groter dan 100 en 90 keer met een getal groter dan 10. Dus heeft 300! op zijn minst 2*200 + 90 = 490 nullen. als je het getal met een factor drie vermenigvuldigd krijgt het getal 1/3 van 490 = 165 nullen erbij.
dus 100^300 heeft 600 nullen
en 300! heeft 655 nullen. dan is 100^300 dus kleiner.
Begrijp wel dat deze benadering eigenlijk niet klopt in de zin van het antwoord op de som 100^300 of 300!. Het laat alleen zien welk getal groter is, niet hoe groot hij is.

[Fatality]

Somari schreef op 23-05-2003 @ 18:02:
voor als je niet heeeeel moeilijk wil rekenen:

100^300 = 10^600
dat is dus een 1 met 600 nullen erachter
300! blijft 200 keer vermenigvuldigen met een getal groter dan 100 en 90 keer met een getal groter dan 10. Dus heeft 300! op zijn minst 2*200 + 90 = 490 nullen. als je het getal met een factor drie vermenigvuldigd krijgt het getal 1/3 van 490 = 165 nullen erbij.
dus 100^300 heeft 600 nullen
en 300! heeft 655 nullen. dan is 100^300 dus kleiner.
Begrijp wel dat deze benadering eigenlijk niet klopt in de zin van het antwoord op de som 100^300 of 300!. Het laat alleen zien welk getal groter is, niet hoe groot hij is.

Maar dat had iedereen al uit zijn hoofd kunnen doen he

[hofje]

Somari schreef op 23-05-2003 @ 18:02:
voor als je niet heeeeel moeilijk wil rekenen:

100^300 = 10^600
300! blijft 200 keer vermenigvuldigen met een getal groter dan 100 en 90 keer met een getal groter dan 10. Dus heeft 300! op zijn minst 2*200 + 90 = 490 nullen. als je het getal met een factor drie vermenigvuldigd krijgt het getal 1/3 van 490 = 165 nullen erbij.

dus als je een 1000 met 3 vermenigvuldigd krijg je er een nul bij; interresant...

Somari schreef op 23-05-2003 @ 18:02:
en 300! heeft 655 nullen. dan is 100^300 dus kleiner.
Begrijp wel dat deze benadering eigenlijk niet klopt in de zin van ...

dat 300! slechts 615 nullen heeft (zie o.a. mijn eerdere post)

groet Martin