Differentiaalvergelijkingen?

[Flexus]

Zou iemand mij kunnen uitleggen wat differentiaalvergelijkingen precies zijn, wat je ermee kunt en of er sites zijn waar ik er meer over kan vinden?

Het schijnt dat ze nogal handig zijn bij toepassingen in de natuurkunde.

[pol]

Ik zal beginnen met een definitie.

Een gewone differentiaalvergelijking is een vergelijking waarbij de onbekende een functie f(x) is. Verder treden in de vergelijking afgeleiden van deze functie op.

Ik denk dat deze def. duidelijker zal worden met een voorbeeldje dat je zeker kent.

De harmonische trilling.

Beschouw een veer met massa m aan. En veerconstante k.
Noem x de uitwijking van de massa uit de evenwichtstand.

Uit experimenten weet je dat de kracht die de veer op de massa uitoefend = - k *x. (de kracht is terugroepend = tegengesteld aan de zin van de uitwijking, vandaar de min).

Een kracht is te schrijven als m * a , met a de versnelling.
Zoals je waarschijnlijk weet is a= v/t en v= x/t. Dit is de gemiddelde snelheid en gemiddelde versnelling over een afstand x. Laat men die afstand x naderen naar 0, bekomt men :

v = dx/dt en a=dv/dt => a=d²x/dt² (De tweede afgeleide van de afstand x naar de tijd t)

Dus nu kunnen we voor onze veer schrijven :

m * d²x/dt² = -k *x

Dit is dus een differentiaal vergelijking, dit het systeem modelleert. Met deze vergelijking is wordt het massa veer systeem beschreven.

Een oplossing voor deze vergelijking ken je natuurlijk ook al uit je lessen natuurkunde, nl. x= A * cos(omega * t + phi).

omega = sqrt(k/m).

A en phi zijn constanten. Aangezien de differentiaal vergelijking van de 2-de orde is, kan je inzien dat er twee maal geïntegreerd zal moeten worden, vandaar die twee constanten.

(Ter controle : vul de oplossing x in in de vergelijking, en je zal zien dat de vergelijking klopt.)

De differentiaalvergelijkingen zijn zeer belangrijk, omdat men ongeveer alle fysische systemen kan modelleren aan de hand van differentiaal vergelijkingen.

Dit klinkt waarschijnlijk ingewikkeld, maar maak je geen zorgen, normaal gezien is dit geen stof voor het secundair onderwijs.

[mathfreak]

Kijk maar eens op http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html

[Flexus]

Bedankt!

Mooie site Mathfreak!

P.

[Flexus]

Als je nu bijvoorbeeld via Newton's tweede wet (Fres=m*a) aan het volgende komt:

5,0 - 0,00095 * v² = 0,1 * (dv/dt)

Kun je dit dan via een differentiaal vergelijking vertalen in een functie v(t) ? Hoe gaat dat dan in zijn werk?


P.S. Het gaat over een kleine raket waarbij de luchtwrijving afhangt van diens snelheid, dus om de wrijvingskracht te kunnen bepalen heb je een snelheidsfunctie nodig.

[pol]

We moeten dus deze differentiaalvergelijking oplossen.
Deze is makkelijk te integreren :

1/2 - 19/2000 * v² = 1/10 * (dv/dt)

<=> dt = 200 * dv/(1000 - 19 * v²)

Nu beide leden primitiveren :

<=> t = 2/19 * sqrt(190) * artanh( v * sqrt(190)/100 ) + C

met C een constante.
Nu nog deze vergelijking oplossen naar v.

<=> v = 100/19 * sqrt(19) * tanh( sqrt(19)/20 * t + Cte )

met Cte een constante.

Wel, dit is de uitdrukking voor de snelheid.
Door de beginvoorwaarde uit te drukken kun je de constante Cte bepalen.

Dus stel : v(0) = beginsnelheid

En bereken uit deze vergelijking dan Cte.

[mathfreak]

pol schreef:
We moeten dus deze differentiaalvergelijking oplossen.
Deze is makkelijk te integreren :

1/2 - 19/2000 * v² = 1/10 * (dv/dt)

<=> dt = 200 * dv/(1000 - 19 * v²)

Nu beide leden primitiveren :

<=> t = 2/19 * sqrt(190) * arctanh( v * sqrt(190)/100 ) + C

met C een constante.
Nu nog deze vergelijking oplossen naar v.

<=> v = 100/19 * sqrt(19) * tanh( sqrt(19)/20 * t + Cte )

met Cte een constante.

Wel, dit is de uitdrukking voor de snelheid.
Door de beginvoorwaarde uit te drukken kun je de constante Cte bepalen.

Dus stel : v(0) = beginsnelheid

En bereken uit deze vergelijking dan Cte.

Even wat aanvullende informatie: de tangens hyperbolicus van x (notatie tanh(x)) is gelijk aan (e^x-e^-x)/(e^x+e^-x). De inverse functie hiervan heet de areatangens hyperbolicus van x (notatie artanh(x)) en is gelijk aan 1/2*ln(1+x)-1/2*ln(1-x).

[Flexus]

Als ik het goed begrijp zijn er dus bepaalde technieken om zo'n differentiaal vergelijking op te stellen. Toch begrijp ik niet alles, bijv.:

waar komt die arctanh ineens vandaan, want zoiets heb ik op school nog nooit gehad bij primitiveren.

is het niet handiger om meteen een vergelijking te maken die begint met v = , door dv voorop te zetten?



Ennuh het was
5,0 - 19/2000 * v² = 1/10 * (dv/dt)
ipv
1/2 - 19/2000 * v² = 1/10 * (dv/dt)

Ik denk dat dat wel uitmaakt voor de snelheidsfunctie die je dan uiteindelijk krijgt, of niet?

[pol]

Sorry. Heb ik even verkeerd opgeschreven, maar de oplossingsmethode blijft dezelfde natuurlijk.

Hier de oplossing met de juiste getallen :

v = 100/19 * sqrt(190) * tanh( sqrt(190)/20 + Cte )

En ja, als je nog op middelbare school zit heb je de hyperbolische functies nog niet gezien.
Wel, veel is er niet aan hoor. Gewoon de definitie van sinh, cosh, ....

De bekomen integraal was een gewone grondintegraal. Nummer 41.

http://www.sosmath.com/tables/integr...g1/integ1.html

En de bedoeling van het oplossen van differentiaalvergelijkingen, is de differentialen wegwerken.

Dus door v gelijk te stellen aan een uitdrukking waar nog steeds dv/dt in staat, bereik je niet veel he.

Download deze link maar, genoeg voorbeelden daar!!!

http://aw.twi.tudelft.nl/~koekoek/on...andleiding.pdf