wiskunde ---> extreem vraagstukje

[sdg]

In een cirkel met straal R is een gelijkbenig trapezium beschreven, zo dat één van de twee evenwijdige zijden een middellijn is en dat x het maatgetal is van de opstaande zijden. Bepaal x zodanig dat de omtrek van het trapezium een maximum bereikt.
Veel succes allen.

[lucy48]

Is dit wel mogelijk als geen enkele waarde bekend is?

[lucy48]

Ik heb er een tijdje over nagedacht, maar kwam er niet echt uit
Ben benieuwd wat de oplossing is

wat was de omtrekvormule van een trapezium ookalweer??

[lucy48]

FlorisvdB schreef op 02-10-2003 @ 10:26:
wat was de omtrekvormule van een trapezium ookalweer??

Volgens mij is daar geen formule voor, gewoon de twee evenwijdige en de twee schuine zijden bij elkaar optellen denk ik

lucy48 schreef op 02-10-2003 @ 10:29:
Volgens mij is daar geen formule voor, gewoon de twee evenwijdige en de twee schuine zijden bij elkaar optellen denk ik

in dat geval zal ik er een andere keer es naar kijken.

[Ndimension]

This looks like a job for Mathfreak

[EvilSmiley]

Math had al een post gedaan hier, maar heeft hem weer verwijderd, misschien had hij een foutje...

Het antwoord word op eens redelijk realistisch dankzei X en pi.
Ik gok dat dit wiskunde b 12 hoofdstuk twee of drie is,
maar wij zijn nog bij hoofdstuk 1.

[wiskunde]

Sorry hoor maar ik zie het probleem niet?
Dit lijkt me wel iets wat je op een examen kan verwachten.

Maarja uitwerking:
één evenwijdige zijde is de middellijn dus is 2R
de opstaande zijden zijn beiden x
de bovenste zijde is dan 2R - 2a
omtrek is dan dus 2R + 2x + 2R - 2a = 4R + 2x - 2a

de hoogte van het trapezium is op twee manieren te bereken
h² = x² - a² en
h² = R² - (R-a)²
dus x² - a² = R² - R² + 2aR - a²
x² = 2aR
a = x²/2R

invullen in vergelijking geeft
4R + 2x - 2(x²/2R) = 4R + 2x - (1/R)x²

de afgeleide gelijkstellen aan nul geeft het maximum
afgeleide = 2 - (2/R)x
2 - (2/R)x = 0
(2/R)x = 2
x = R

of doe ik nu iets gigantisch verkeerd ofzo?

[teddybeer1983]

wiskunde schreef op 02-10-2003 @ 14:33:
Sorry hoor maar ik zie het probleem niet?
Dit lijkt me wel iets wat je op een examen kan verwachten.

Maarja uitwerking:
één evenwijdige zijde is de middellijn dus is 2R
de opstaande zijden zijn beiden x
de bovenste zijde is dan 2R - 2a
omtrek is dan dus 2R + 2x + 2R - 2a = 4R + 2x - 2a

de hoogte van het trapezium is op twee manieren te bereken
h² = x² - a² en
h² = R² - (R-a)²
dus x² - a² = R² - R² + 2aR - a²
x² = 2aR
a = x²/2R

invullen in vergelijking geeft
4R + 2x - 2(x²/2R) = 4R + 2x - (1/R)x²

de afgeleide gelijkstellen aan nul geeft het maximum
afgeleide = 2 - (2/R)x
2 - (2/R)x = 0
(2/R)x = 2
x = R

of doe ik nu iets gigantisch verkeerd ofzo?

Ja, volgens jou ligt de tweede lijn precies op de middellijn, je krijgt zeker geen trapezium. 1 fout die je maakt is volgens mij je defenitie van je hoogte. Daarnaast raakt je formule voor de omtrek kant noch wal. (*is druk bezig met denken over dit probleem*)

[wiskunde]

teddybeer1983 schreef op 02-10-2003 @ 14:56:
Ja, volgens jou ligt de tweede lijn precies op de middellijn, je krijgt zeker geen trapezium. 1 fout die je maakt is volgens mij je defenitie van je hoogte. Daarnaast raakt je formule voor de omtrek kant noch wal. (*is druk bezig met denken over dit probleem*)

in de vraag van sdg staat toch dat één van de twee evenwijdige zijden een middellijn is?
wat is er fout aan mijn omtrek, je moet toch gewoon 4 zijden bij elkaar optellen?
verder zegt sdg dat de opstaande zijden evengroot zijn dus het gedeelte wat de ene evenwijdige kleiner is dan de andere is aan beide kanten gelijk

[teddybeer1983]

x is de helft van de bovenzijde.
a=R-x
(je hebt dus eigenlijk een halve cirkel, met daarin nog een lijn met lengte 2x evenwijdig aan de onderzijde van de cirkel)

Het gevormde trapezium heeft een hoogte h
en een omtrek 2R + 2x + 2 (a^2+h^2)^1/2

a is zoals gezegt =R-x en h^2=r^2+x^2 (volgt uit pythagotas)

a^2= R^2+x^2-2Rx
dus a^2+h^2= 2R^2-2Rx

Nu volgt voor de omtrek:
2R + 2x + 2 (2R^2-2Rx)^1/2
omschrijven geeft
2R + 2^1.5*R + 2x - 2 * (2Rx)^1/2

Neem de afgeleide en stel deze gelijk aan nul
Dit geeft
2 - 2R * (2Rx)^-1/2 = 0

hieruit volgt dat x=1/2R (op zich wel logisch)

En bij nader inzien, heb ik de vraagstelling anders geintrepeteerd en blijkt wiskunde toch gelijk te hebben gehad, sorrie voor het mijn vorige reactie wiskunde.
Je antwoord klopt wel, alleen kon ik je niet echt volgen zonder het zelf uit te rekenen

[sdg]

wiskunde schreef op 02-10-2003 @ 14:33:
Sorry hoor maar ik zie het probleem niet?
Dit lijkt me wel iets wat je op een examen kan verwachten.

Maarja uitwerking:
één evenwijdige zijde is de middellijn dus is 2R
de opstaande zijden zijn beiden x
de bovenste zijde is dan 2R - 2a
omtrek is dan dus 2R + 2x + 2R - 2a = 4R + 2x - 2a

de hoogte van het trapezium is op twee manieren te bereken
h² = x² - a² en
h² = R² - (R-a)²
dus x² - a² = R² - R² + 2aR - a²
x² = 2aR
a = x²/2R

invullen in vergelijking geeft
4R + 2x - 2(x²/2R) = 4R + 2x - (1/R)x²

de afgeleide gelijkstellen aan nul geeft het maximum
afgeleide = 2 - (2/R)x
2 - (2/R)x = 0
(2/R)x = 2
x = R

of doe ik nu iets gigantisch verkeerd ofzo?

Prociat wiskunde, ge zit er helemaal op.

[da leentjuh]

Ik heb hoofdpijn en kan dit echt niet meer volgen, maar ik geloof wiskunde.

en ik geloof teddybeer1983

[teddybeer1983]

Aangezien we in principe allebij op t zelfde antwoord uitkomen zal t allebei wel kloppen. Maar ik kon wiskunde niet volgen, toen ging ik kijken waar ik zelf uitkwam en t bleek t zelfde antwoord te zijn.