Hulp nodig bij een (L)CR-schakeling

[DMC]

Er is een schakeling met een wisselspannings bron, condensator en een weerstand in serie (alles).
De impedantie van de schakeling is gelijk aan Z = √( (1/(ωC))² + R² )
Ok... hoe moet ik hieraan komen??

En er is een schakeling waarbij wisselspanningsbron, condensator en weerstand parallel staan (alles). En dan is de impedantie 1/Z = √( (1/R)² + (ωC)² ).
En hoe moet ik hieraan komen???

Ik weet wel wat van complexe getallen en formules voor condensator enzo.

Alvast bedankt!!!

[[Pierewiet]]

Ur=R*Ib (Ib=I bron) Uc=Xc*Ib Je weet dat Uc 90° in fase verschoven t.o.v Ur (naijlt). Vectorieel gezien voldoet vector Ub aan de coördinaten (Ur; -Uc). De lengte van deze vector volgt uitUb|= sqrt(Ur²+Uc²) (Modulus). Omdat stroomvector Ib op de x-as zit kan de hoek tussen stroombron en bronspanning worden bepaald door: fi=arctan -Uc/Ur (argument). De totale impedantie Z van deze schakeling is Z=Ub/Ib dus Z= sqrt(Ur²+Ur²)/Ib=sqrt{(r*Ib)²+(Xc*Ib)²}/Ib=sqrt(R²+Xc²) Welnu, Xc=1/wC Je ziet het nu wel, Z=sqrt{R²+(1/wC)²}
Op dezelfde wijze kun je de parallelschakeling aanpakken, maar dit keer via de stromen. Ic ijlt 90° voor op Ir.
Ir=Ub/R en Ic=Ub/Xc. Vector Ib (Ir;Ic)
|Ib|=sqrt (Ir²+ Ic²) fi=arctanIc/Ir en de impedantie Z=Ub/Ib => Z=Ub/sqrt{(Ub/R)²+(Ub/Xc)²}=sqrt{(1/R)²+(1/wC)²}

[DMC]

Bedankt.

Ik heb nog een vraag...
Er is een schakeling waarbij een condensator parallel staat met een spoel en in serie met deze spoel een weerstand.

Wat is dan de modulus van de impedantie?? (in formule vorm)

Ik dacht zelf eerst de complexe impedantie als formule op te schrijven, maar kwam niet verder dan Z = (jwL + R) / (jCRw + 1 - w²CL)
is dit wel goed???

alvast bedankt!

[mathfreak]

DMC schreef op 22-10-2003 @ 19:24:
Bedankt.

Ik heb nog een vraag...
Er is een schakeling waarbij een condensator parallel staat met een spoel en in serie met deze spoel een weerstand.

Wat is dan de modulus van de impedantie?? (in formule vorm)

Het gaat dus om een schakeling met 2 parallelle impedanties, Z₁ en Z₂. Laat Z₁ betrekking hebben op de weerstand en de spoel in serie en Z₂ op de parallel geschakelde condensator. Dit geeft: Z₁=j*w*L+R en
Z₂=1/(j*w*C)=-j/(w*C). Omdat Z₁ en Z₂ 2 parallelle impedanties zijn geldt voor de totale impedantie Z: 1/Z=1/Z₁+1/Z₂=(Z₁+Z₂)/(Z₁*Z₂),
dus Z=Z₁*Z₂/(Z₁+Z₂). Invullen van de uitdrukkingen voor Z₁ en Z₂ en uitwerken geeft dan de gevraagde impedantie Z.

[DMC]

Ok, bedankt.

Maar heb nog steeds een probleem.
Ik zal eerst even zeggen wat uiteindelijk mijn opdracht is.

Ik moet van deze schakeling de resonantiefrequentie berekenen met de formule w=1/sqrt(LC) (dit geldt toch bij alle LCR schakelinge??).
Daarna moet ik eveneens de frequentie aflezen van een grafiek dat ik moet maken. Dit is een |Z| tegen f (frequentie) grafiek. En daaruit moet ik dan geloof ik ook dezelfde frequentie moeten uitlezen waarvoor de impedantie minimaal is.

Nu is het probleem dat ik een formule wil van de modulus van de impedantie. Als ik dat probeer op te lossen krijg ik een enorme(!!!) formule, waar (als ik deze grafiek plot/teken) ik zie dat het niet eens dal ofzo heeft. (Wel een top, maar de top komt niet overeen met de resonantiefrequentie).

Nu heb ik uren zitten puzzelen , maar kom er niet uit.
Dus hoop ik dat iemand een idee heeft hoe dit aan te pakken of dat iemand ziet waar ik een fout maak (bij het plan natuurlijk).

Ik heb echt snel een reactie nodig!!

Alvast bedankt!

[mathfreak]

DMC schreef op 25-10-2003 @ 13:45:
Ok, bedankt.

Maar heb nog steeds een probleem.
Ik zal eerst even zeggen wat uiteindelijk mijn opdracht is.

Ik moet van deze schakeling de resonantiefrequentie berekenen met de formule w=1/sqrt(LC) (dit geldt toch bij alle LCR schakelinge??).

Volgens mij gaat dit alleen op als je te maken hebt met L, R, en C in serie en L, R, en C parallel. Algemeen geldt: als Z=R+j*X is gegeven wordt de resonantievoorwaarde gegeven door X=0. Je moet dus de reactantie, ofwel het imaginaire gedeelte van de impedantie, gelijk stellen aan nul. Dit geeft een vergelijking waaruit w (en dus ook de frequentie f) is op te lossen.

DMC schreef op 25-10-2003 @ 13:45:
Daarna moet ik eveneens de frequentie aflezen van een grafiek dat ik moet maken. Dit is een |Z| tegen f (frequentie) grafiek. En daaruit moet ik dan geloof ik ook dezelfde frequentie moeten uitlezen waarvoor de impedantie minimaal is.

Nu is het probleem dat ik een formule wil van de modulus van de impedantie. Als ik dat probeer op te lossen krijg ik een enorme(!!!) formule, waar (als ik deze grafiek plot/teken) ik zie dat het niet eens dal ofzo heeft. (Wel een top, maar de top komt niet overeen met de resonantiefrequentie).

Nu heb ik uren zitten puzzelen , maar kom er niet uit.
Dus hoop ik dat iemand een idee heeft hoe dit aan te pakken of dat iemand ziet waar ik een fout maak (bij het plan natuurlijk).

Ik heb echt snel een reactie nodig!!

Alvast bedankt!

Die reactie heb je inmiddels. Ik heb je mailtje zojuist ontvangen, vandaar dat ik even reageer. Hopelijk kom je hier wat verder mee.

[DMC]

Ok..., ik heb de volgende formule gekregen voor de impedantie:
sqrt( (R^2+x^6*L^4*C^2-2*x^4*L^3*C+2*x^4*L^2*C^2*R^2-2*x^2*L*C*R^2+x^2*C^2*R^4+x^2*L^2) / (x^8*L^4*C^4-4*x^6*L^3*C^3+2*x^6*L^2*C^4*R^2+6*x^4*L^2*C^2-4*x^4*L*C^3*R^2+x^4*C^4*R^4-4*x^2*L*C+2*x^2*C^2*R^2+1) )

Ik vraag me nou af of ik in de goede richting zit. De grafiek stijgt eerst tot w = 310 rad/s, impedantie is ongeveer 97 ohm, en daalt daarna (dit was dus de top). Een grafiek op een domein van 0 tot 1000 rad/s. En op w = 0 is impedantie 70 ohm.
R = 70 ohm
C = 40 microfahrad
L = 180 millihenry

klopt het ongeveer?

[mathfreak]

DMC schreef op 25-10-2003 @ 18:43:
Ok..., ik heb de volgende formule gekregen voor de impedantie:
sqrt( (R^2+x^6*L^4*C^2-2*x^4*L^3*C+2*x^4*L^2*C^2*R^2-2*x^2*L*C*R^2+x^2*C^2*R^4+x^2*L^2) / (x^8*L^4*C^4-4*x^6*L^3*C^3+2*x^6*L^2*C^4*R^2+6*x^4*L^2*C^2-4*x^4*L*C^3*R^2+x^4*C^4*R^4-4*x^2*L*C+2*x^2*C^2*R^2+1) )

Ik vraag me nou af of ik in de goede richting zit. De grafiek stijgt eerst tot w = 310 rad/s, impedantie is ongeveer 97 ohm, en daalt daarna (dit was dus de top). Een grafiek op een domein van 0 tot 1000 rad/s. En op w = 0 is impedantie 70 ohm.
R = 70 ohm
C = 40 microfahrad
L = 180 millihenry

klopt het ongeveer?

Wat stelt x eigenlijk voor?

[DMC]

Ow, vergeten, dat is omega (w). Ik had het namelijk ingevoerd in een grafische programma, en gewoon gekopieerd...

[DMC]

mathfreak schreef op 25-10-2003 @ 22:09:
(1+(R+j*w*L)j*w*C))/(R+j*w*L)
=(1-w²*L*C-j*w*R*C)/(R+j*w*L)

Ik krijg zelf
(1+(R+j*w*L)j*w*C)) = 1 + j*R*w*C - w²*L*C

zit ik nou fout of...

[mathfreak]

DMC schreef op 26-10-2003 @ 14:28:
Ik krijg zelf
(1+(R+j*w*L)j*w*C)) = 1 + j*R*w*C - w²*L*C

zit ik nou fout of...

Nee, ik zat fout. Ik heb die reply overigens maar verwijderd omdat het nogal een heidens karwei is om het gecorrigeerd te krijgen met al die sup-tags en dergelijke. Het lijkt me in ieder geval het makkelijkste om voor het bepalen van de resonantievoorwaarde van de complexe vorm van de impedantie uit te gaan en het imaginaire deel nul te stellen, zoals ik al aangaf. De tangens van de fasehoek kun je in dat geval vinden door het imaginaire deel door het reële deel te delen.

[DMC]

Ok, heb de imaginair deel gelijkgesteld aan nul. Er komt een w uitrollen, maar als ik dit punt dan bekijk op een grafiek, zie ik dat voor die punt de impedantie niet minimaal is. Dus dacht ik zelf dat er dan ook niet sprake is van resonantie.

[mathfreak]

DMC schreef op 26-10-2003 @ 15:58:
Ok, heb de imaginair deel gelijkgesteld aan nul. Er komt een w uitrollen, maar als ik dit punt dan bekijk op een grafiek, zie ik dat voor die punt de impedantie niet minimaal is. Dus dacht ik zelf dat er dan ook niet sprake is van resonantie.

Volgens mij moet de reactantie nul zijn om resonantie te krijgen, en heeft dat op zich niets met een eventueel minimum van de impedantie te maken. Als je de impedantie bepaalt van een weerstand, een spoel en een condensator die met elkaar in serie of parallel staan, en van die impedantie het imaginaire deel (dus de reactantie) nul stelt, vind je de resonantievoorwaarde die in je derde post vermeld staat. Bij resonantie moet een LRC-schakeling zich als een zuivere (reële) weerstand, dus zonder reactantie, gedragen.

[DMC]

Ok, is het dan nou mogelijk om uit een grafiek van |Z| tegen de frequentie te kunnen bepalen wanneer er resonantie is?? Dat is namelijk mijn opdracht.

[mathfreak]

DMC schreef op 26-10-2003 @ 18:14:
Ok, is het dan nou mogelijk om uit een grafiek van |Z| tegen de frequentie te kunnen bepalen wanneer er resonantie is?? Dat is namelijk mijn opdracht.

Jawel, dat is mogelijk. Voor resonantie moet namelijk gelden dat |Z| gelijk is aan R, waarbij R het reële deel van de impedantie voorstelt, dus als je op de |Z|-as het punt opzoekt waar dat het geval is kun je op de f-as de resonantiefrequentie aflezen.

[DMC]

mathfreak schreef op 26-10-2003 @ 18:37:
Jawel, dat is mogelijk. Voor resonantie moet namelijk gelden dat |Z| gelijk is aan R, waarbij R het reële deel van de impedantie voorstelt, dus als je op de |Z|-as het punt opzoekt waar dat het geval is kun je op de f-as de resonantiefrequentie aflezen.

Dat dacht ik ook, bij de berekening kreeg ik dat er resonantie is voor f = 0 en f = 39,7. Maar als ik dan de grafiek maak, zie ik wel dat de impedantie bij f = 0 gelijk is aan de weerstand, maar niet bij f = 39,7. (R = 60 ohm, maar bij f = 39,7 is het 83 ohm)
.........
misschien ligt het aan mij berekeningen...

[DMC]

Als ik de fasehoek uitzet tegen de frequentie zie ik wel dat op de frequenties f = 0 en f = 39,7 de hoek gelijk is aan nul....

[mathfreak]

DMC schreef op 26-10-2003 @ 19:21:
Als ik de fasehoek uitzet tegen de frequentie zie ik wel dat op de frequenties f = 0 en f = 39,7 de hoek gelijk is aan nul....

In dat geval stelt f=39,7 Hz de gezochte resonantiefrequentie voor. Als Z=R+i*X de impedantie voorstelt geldt voor de fasehoek fi: tan(fi)=X/R. Voor fi=0 geldt dan: X/R=0, dus X=0, wat de voorwaarde voor resonantie is zoals ik al vermeldde.