integraal over pad

[jbtq]

Vraagje. Ik heb de integraal over een curve [ dus een integraal teken met een c er onder] met de volgende gegevens.

Fc xdy-ydx en c[t]=cos[t],sin[t] en t is vanaf o tot 2pi met de grenzen meegerekend. De F staat in dit geval voor een integraal teken.

Ik snap wat je moet doen, namelijk we moeten een functie vinden, waarvan de gradient xdy-ydx, maar ik raak in de war door die dy en die dx er achter. Wat bedoelen ze daar precies mee?? Is het zo dat ze die x krijgen door over y te differentieren en bij xdy, en -y door over -y te differentieren??

Alvaste bedankt

[GinnyPig]

Tijd geleden dat ik zoiets heb uitgerekent, maar goed:
Gegeven:
c[t] = {x[t],y[t]} = {Cos[t],Sin[t]}
Gevraagd:
F_C{ xdy - ydx } met 0<t<2pi

F_C{ xdy - ydx } =
F_C{ xdy/dt - ydy/dt }dt

Waarbij:
x = Cos[t]
dx/dt = -Sin[t]
y = Sin[t]
dy/dx = Cos[t]

Invullen (met grenzen van t=0 en t=2pi):
F{ Cos[t]² + Sin[t]² }dt =
Fdt = 2pi

Heb het idee dat ik het wel goed doe, maar ik weet het niet zeker

[jbtq]

je antwoord klopt inderdaad, maar ik snap alleen niet je laatste stap, waarom je van

x = Cos[t]
dx/dt = -Sin[t]
y = Sin[t]
dy/dx = Cos[t]

Naar:

F{ Cos[t]2 + Sin[t]2 }dt

gaat.

Dat zie ik niet

Alvast bedankt

[GinnyPig]

Allereerst staar er een klein foutje in mijn uitwerking... dy/dx moet dy/dt zijn

Maar goed, ik heb eerst de integraal omgeschreven naar:
F_C{ xdy/dt - ydy/dt }dt
Oftewel:
F_C{ x[t]*dy[t]/dt - y[t]dy[t]/dt }dt

(met x[t] bedoel ik dus, x is een functie van t. dx[t]/dt staat uiteraard voor de afgeleide van de functie x[t] naar de variabele t).

Dit is een integraal over t, en aangezien zowel x als y als hun afgeleides dx/dt en dy/dt van t afhangen is het nu een kwestie van de juiste termen op de juiste plekken invullen.

Voor x[t] vul je Cos[t] in, voor dx/dt vul je -Sin[t] in, etc. Voor t zijn ook de grenswaarden bekend, dus nu is het een kwestie van de 'normale' integraal invullen.