Waarom kun je een negatief getal niet worteltrekken?

[Upior]

Ik ben een PO over complexe getallen aan het maken. Ik weet wel dat je een negatief getal niet kan worteltrekken in R, maar wáárom niet? Ik weet niet zo goed hoe ik het moet uitleggen..

[bulbanos]

wortel trekken kan hertaald worden tot 'zoek een getal dat vermenigvuldigd met zichzelf het oorspronkelijke getal geeft'

probeer maar eens zoiets te zoeken voor -1 of -81, het is onmogelijk, er is daar natuurlijk een kunstgreep toegepast en sqrt(-1) gedefinieerd.
Daarom is sqrt(81) trouwens ook gelijk aan 9 en -9 omdat beide vermenigvuldigd met zichzelf 81 opleveren

denk ik ook..
als je een negatief getal kan worteltrekken zou dat betekenen dat er ook negatieve kwadraten zijn. bv. iets (geheel/kommagetal) in het kwadraat = -8 Dat kan niet want positief*positief=positief en negatief*negatief=positief. Een kwadraat is dus nooit negatief --> dus kan je ook geen wortel trekken uit een negatief getal.

[teddybeer1983]

Wortel tekken is de inverse functie van kwadrateren. Bij kwadrateren vermenigvuldig je een getal met zichzelf. Dat betekent automatisch dat je twee getallen met hetzelfde teken vermenigvuldigd. Hieruit, de uitkomst van een kwadraat, komt altijd een positief getal.
Daar worteltrekken de inverse functie is van kwadrateren kan je onmogelijk de worteltrekken uit een negatief getal (werken met complexe getallen (een truckje) daar gelaten)

[mathfreak]

Upior schreef op 19-03-2004 @ 13:33:
Ik ben een PO over complexe getallen aan het maken. Ik weet wel dat je een negatief getal niet kan worteltrekken in R, maar wáárom niet? Ik weet niet zo goed hoe ik het moet uitleggen..

In de verzameling IR geldt dat een kwadraat van een getal altijd groter of gelijk aan nul is, dus dat verklaart waarom je nooit een negatief getal als kwadraat krijgt. Om de vergelijking x²=a voor a<0 op te kunnen lossen moet je IR dus uit zien te breiden tot een verzameling die IR als deelverzameling bevat. Dit is mogelijk door een getal i met de eigenschap i² = -1 te definiëren. De uitbreiding C bevat dan alle getallen van de vorm a+b*i, waarbij a en b reëel zijn en i (de zogenaamde imaginaire eenheid) een niet-reëel getal voorstelt met de vermelde eigenschap.
Gaan we uit van sqrt(-1) en combineren we dat met de eigenschap voor i, dan vinden we: sqrt(-1)=sqrt(i²)=i. Er is echter enige voorzichtigheid geboden, want stel dat we (sqrt(-1))² willen bepalen. Als je de formule sqrt(a)*sqrt(b)=sqrt(a*b) met a=b=-1 toepast krijg je:
(sqrt(-1))²=sqrt(-1)*sqrt(-1)=sqrt(-1*-1)=sqrt(1)=1, en niet -1 zoals je zou verwachten. We spreken daarom af dat de wortel uit een getal alleen gedefinieerd wordt voor een getal dat groter of gelijk aan nul is.